1、课时分层作业二十三方程的根与函数的零点(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知函数f(x)=若f(f(0)=4a，则实数a等于()A.B.C.2D.9【解析】选C.由题知f(0)=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2.2.设函数f(x)=，若f(m)=3，则实数m的值为()A.-2B.8C.1D.2【解析】选D.因为当0x2时，log2x1，所以由f(m)=3得m2，所以m2-1=3，解得m=2.3.函数y=f(x)在区间1，4上的图象是连续不断的曲线，且f(1)f(4)0，则函数y=f(x)()A.在(1， 4)内至少有一个零点B.在(1， 4)内至多有一
2、个零点C.在(1， 4)内有且只有一个零点D.在(1， 4)内不一定有零点【解析】选A.由已知y=f(x)的图象在区间1，4上是连续不断的曲线，且f(1)f(4)0，f(2)=-23-32+5=-90，所以函数f(x)的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是(1，2).5.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1(1，x0)，x2(x0，+)，则有()A.f(x1)0，f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)0【解析】选B.因为x1时，y=2x，y=都是增函数，所以f(x)=2x+在(1，+)上是增函数，所以有且只有一个零点x0，根据零点存在性定理
3、及函数增减性知，f(x1)0.6. 已知函数f(x)=2x+log2x，g(x)=2-x-lox，h(x)=2xlog2x-1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.cbaC.cabD.bac【解析】选A.因为f(x)=2x+log2x=0，可得log2x=-2x，g(x)=+log2x=0，可得log2x=-，h(x)=2xlog2x-1=0，可得log2x=，因为函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为a，b，c，作出函数y=log2x，y=-2x，y=-，y=的图象如图，由图可知：abc.二、填空题(每小题5分，共10分)7.函数f(x)=x2-ax-b的两
4、个零点分别是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_.【解析】函数f(x)=x2-ax-b的两个零点分别是2和3，即方程x2-ax-b=0的两个根分别为2和3，所以a=5，b=-6，解方程-6x2-5x-1=0，得x=-或-，所以函数g(x)=bx2-ax-1的零点是-和-.答案：-和-8.已知函数f(x)=若f(0)=-2，f(-1)=1，则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为_.【解析】依题意得由此解得b=-4，c=-2.由g(x)=0得f(x)+x=0，该方程等价于或解得x=2，解得x=-1或x=-2.因此，函数g(x)=f(x)+x的零点个数为3.答案：3三、解答题(每小题
5、10分，共20分)9.已知二次函数f(x)满足：f(0)=3，f(x+1)=f(x)+2x.(1)求函数f(x)的解析式.(2)令g(x)=f(|x|)+m(mR)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0)，因为f(0)=3，所以c=3，所以f(x)=ax2+bx+3.f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+(a+b+3)，f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3，因为f(x+1)=f(x)+2x，所以解得a=1，b=-1，所以f(x)=x2-x+3.(2)由(1)，得g(x)=x2-|x|+3+m，在平面
6、直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点.由图象得解得-3m-，即实数m的取值范围是.10.已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a0).(1)若f(-1)=0，判断函数f(x)的零点个数.(2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围.(3)已知x1，x2R且x10，函数f(x)有两个零点.(2)已知a0，则=m2-4a(m-1)0对于mR恒成立，即m2-4am+4a0恒成立，所以=16a2-16a0，从而解得0a1.故实数a的取值范围是(0，1).(3)设g(x)=f(x)-f(x1)+f(
7、x2)，则g(x1)=f(x1)-f(x1)+f(x2)=f(x1)-f(x2)，g(x2)=f(x2)-f(x1)+f(x2)=f(x2)-f(x1)，因为f(x1)f(x2)，所以g(x1)g(x2)=-f(x1)-f(x2)20，所以g(x)=0在区间(x1，x2)上有实数根，所以方程f(x)=f(x1)+f(x2)在区间(x1，x2)上有实数根.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.方程lg x=8-2x的根x(k，k+1)，kZ，则k等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.令f(x)=lg x+2x-8，函数f(x)在(0，+)上单调递增，且在(0，+)上连续
8、，因为f(1)=-60，f(2)=lg 2-40，f(3)=lg 3-20，所以f(3)f(4)0，函数零点所在的区间是(3，4)，所以k=3.2.已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f(x)=ax+x-b的零点所在区间是()A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，2)【解析】选B.由2a=3，3b=2，得a=log23，b=log32，ab=1，f(-1)=a-1-1-b=-10.所以零点所在区间是(-1，0).3.已知函数f(x)=(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A.(0，1B.1，+)C.(0，1)D.(-，1【解析】选A.当x
9、0时，f(x)单调递增，所以f(x)f(0)=1-a，当x0时，f(x)单调递增，且f(x)-a.因为f(x)在R上有两个零点，所以解得0a1.4.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x)，且在区间0，2上，f(x)=x，若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的根，则a的取值范围为()A.(2，4)B.(2，2)C.(，2)D.(，)【解析】选D.由f(x-4)=f(x)，知f(x)的周期为4，又f(x)为偶函数，所以f(x-4)=f(4-x)，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，作出函数y=f(x)与y=logax的图象如图所示：要使方程f(x)=logax有三个
10、不同的根，则解得a1，由f(x)=0，化简为log2=m+1，所以=2m+1，即x2-2m+1x+2m+1=0，当x1时，此方程有两个不同的解，所以得m1.答案：(1，+)6.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为_.【解析】由题意，函数f(x)的定义域为(0，+)；由函数零点的定义，f(x)在(0，+)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0的根.令y1=|x-2|，y2=ln x(x0)，在同一坐标系中画出两个函数的图象.由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点.答案：27.已知函数f(x)=，若方程f(x)=a有且仅有一个实数根，则a的取值范
11、围是_.【解析】作出函数f(x)=的图象如图，由图可知，要使方程f(x)=a有且仅有一个实数根，则a的取值范围是(0，1)2，+).答案：(0，1)2，+)8.记f(x)=x-x(x0)，其中x表示不超过x的最大整数，若方程f(x)=kx有4个不同的实数根，则实数k的取值范围是_.【解析】当x=n(nN)时，f(x)=0；当x(n，n+1)(nN)时，f(x)=x-n；所以5k1，4k1，所以k.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)9.已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2m在0，1上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.【解析】(1)若方程x2-(m-1)x+2m=0在0，1上有
12、两个相等的实根，则有此时无解.(2)若方程x2-(m-1)x+2m=0有两个不相等的实根，当有且只有一根在(0，1)上时，有或即或解得-2m0.当f(0)=0时，m=0，方程化为x2+x=0，根为x1=0，x2=-1，满足题意；当f(1)=0时，m=-2，方程化为x2+3x-4=0，根为x1=1，x2=-4，满足题意.综上所述，实数m的取值范围为-2，0.10. 设x1，x2，x3依次是方程lox+2=x，log2(x+2)=，2x+x=2的实根，判断x1，x2，x3的大小关系.【解析】lox=x-2，令y=lox与y=x-2，在同一坐标系中作出y=lox与y=x-2的图象，如图.由图形可知，
13、两图象交点横坐标1x12.同理作出y=log2(x+2)与y=的图象，如图.由图形可知，两函数交点的横坐标-1x20.作出y=2x与y=-x+2的图象，如图由图形可知，两函数交点的横坐标0x31.综上可述，x2x3x1.11.已知函数f(x)=lox+-.(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是单调函数.(2)证明f(x)有零点.(3)设f(x)的零点x0落在区间内，求正整数n.【解析】(1)显然f(x)的定义域为(0，+)，设0x10，x1x20-=0，lox1lox2lox1-lox20，因为f(x1)-f(x2)=(lox1-lox2)+-0，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在定义域(0，+)上是减函数.(2)因为f(1)=0+-=-80，所以f(1)flog28-3=0，f=lo+5-=log210-=log25-=log2-log20，所以ff0，所以f(x)的零点在区间内，故n=10.
