1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点39 抛物线 一、选择题1.(2017全国乙卷理科T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题.【解析】选A.方法一:设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程得x2-2x-4x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(
2、x4,y4),所以x1+x2=-,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设AB倾斜角为.作AK1垂直于准线,垂足为K1,AK2垂直x轴,垂足为K2,准线交x轴于点G,易知所以cos+p=,同理=,=,所以=,又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+,=,而y2=4x,即p=2.所以+=2p=4=16,当=取等号,即+最小值为16,故选A.二、简答题2.(2017浙江高考T21)如图,已知抛物线x2=y.点A,B,抛物线上的点P(x,y),过点B
3、作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围.(2)求的最大值.【命题意图】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.【解析】(1)设直线AP的斜率为k,k=x-,因为-x,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=,因为|PA|=(k+1),|PQ|=(xQ-x)=-,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|PQ|取得
4、最大值.3.(2017北京高考理科T18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A为线段BM的中点.【命题意图】本题主要考查抛物线的性质,意在培养学生运算能力与分析问题解决问题的能力.【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=,所以C:y2=x,所以焦点坐标,准线:x=-. (2)设l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由题知A(x1,x1),B,由消去y得k2x2+(k-1)x+=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以y1+=kx1+=2kx1+,由x1+x2=,x1x2=,上式=2kx1+=2kx1+(1-k)2x1=2x1,所以A为线段BM的中点.关闭Word文档返回原板块
