1、第十章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019年高考全国卷文数)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.答案D2.(2019年高考全国卷理数)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由z=-3+2i,得z=-3-2i,则z=-3-2i对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.答案C3.(2019年高考
2、全国卷文数)设z=3-i1+2i,则|z|=()A.2B.3C.2D.1解析z=3-i1+2i,z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15-75i,|z|=152+-752=2.故选C.答案C4.(2019年高考全国卷文数)设z=i(2+i),则z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i解析由题意得z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i.故选D.答案D5.复数4cos-2+isin-2化成代数形式,正确的是()A.4B.-4C.4iD.-4i解析4cos-2+isin-2=40+i(-1)=-4i.故选D.答案D6.4(cos 60+isi
3、n 60)3(cos 150+isin 150)=()A.63+6iB.63-6iC.-63+6iD.-63-6i解析4(cos 60+isin 60)3(cos 150+isin 150)=12cos(60+150)+isin(60+150)=12(cos 210+isin 210)=12-32-12i=-63-6i.故选D.答案D7.(2019年高考全国卷理数)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析由题意可得z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,则|z
4、-i|=x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.答案C8.若复数z满足|z+3-4i|=2,则zz的最大值为()A.9B.81C.7D.49解析由|z+3-4i|=2,得复数z在复平面内对应点的集合图形如图,|z|max=7,则zz=|z|2的最大值为49.故选D.答案D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是()A.3+7i4B.3-7i4C.-37i4D.37i4解析根据求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=3-7
5、22=37i24.故选AB.答案AB10.设z是复数,则下列命题中的真命题是()A.若z20,则z是实数B.若z20D.若z是纯虚数,则z20,则b=0,所以z是实数,真命题;对于B,z20,则a2-b20且2ab=0a0,b=0与b0矛盾,所以z20是假命题.对于D,z是纯虚数,则a=0,b0,所以z20是真命题;故选ABD.答案ABD11.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题,其中的真命题为()A.|z|=2B.z2=2iC.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为-1解析z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,A:|z|=2,B:z2=2i,C:z的共轭复数为-1+
6、i,D:z的虚部为-1,故选BD.答案BD12.复数z的共轭复数记为z,复数z,z分别对应点Z,Z.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的ZA,都有ZA,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有()A.(x,y)|y=log2xB.(x,y)|y2=xC.(x,y)x22-y2=1D.(x,y)|y=2x解析复数z的共轭复数记为z,复数z,z分别对应点Z,Z.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的ZA,都有ZA,就称A为“共轭点集”.即z,z表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C中的集合都满足,AD中不满足.答案BC三、填空题:本题共4小题,
7、每小题5分,共20分.13.i是虚数单位,则5-i1+i的值为.解析由题可得5-i1+i=(5-i)(1-i)2=2-3i=13.答案1314.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.解析由题可得(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,令a-2=0,解得a=2.答案215.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,对e2 0194i表示的复数z,则|z|=.
8、解析由题意,e2 0194i=cos2 0194+isin2 0194=cos34+isin34=-22+22i,所以|z|=12+12=1.答案116.复数z=a-i且z1+i=1+bi(a,bR,i为虚数单位),则ab=;|z|=.解析由z=a-i,得z1+i=a-i1+i=(a-i)(1-i)(1+i)(1-i)=a-12-a+12i=1+bi,则a-12=1,-a+12=b,解得a=3,b=-2.ab=-6.z=3-i,|z|=32+(-1)2=10.答案-610四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,bR
9、),z2=c+di(c,dR).(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1z2|;(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|z2|与|z1z2|的关系,并证明该关系的一般性.解(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,|z1|=|1+2i|=5,|z2|=|3+4i|=5,|z1z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=55.(2)由(1)猜测,|z1|z2|=|z1z2|.证明如下:z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR).|z1|=a2+b2,|z2|=c2+d2,|z1|z2|=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2
10、+b2c2;z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad-bc)i,|z1z2|=(ac-bd)2+(ad-bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2.|z1|z2|=|z1z2|.18.(12分)已知i为虚数单位,m为实数,复数z=(m+i)(1-2i).(1)m为何值时,z是纯虚数;(2)若|z|5,求|z-1|的取值范围.解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i.当m+2=0,1-2m0时,即m=-2时,z是纯虚数.(2)由|z|5,可知z的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆及其内部,如图,则|z-1|的取值范围是0,6.19.(12分)已知i为
11、虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.(1)求z;(2)在复平面内,O为坐标原点,向量OA,OB对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若AOB是直角,求实数c的值.解(1)设z=a+bi(a,bR),由|z|i+z=3+9i,得a+(b+a2+b2)i=3+9i,a=3,b+a2+b2=9,解得a=3,b=4.z=3+4i;(2)由题意,A,B,O的坐标分别为(3,4),(c,2-c),(0,0),OA=(3,4),OB=(c,2-c),AOB是直角,3c+4(2-c)=0,即c=8.20.(12分)已知复数z=bi(bR),z-21+i是纯虚数,i是虚数单位.(1)求复数z的共轭复数z
12、;(2)若复数(m+z)2所表示的点在第二象限,求实数m的取值范围.解(1)z=bi(bR),z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=(b-2)+(b+2)i2=b-22+b+22i,又z-21+i是纯虚数,b-22=0且b+220,解得b=2,即z=2i.z=-2i;(2)z=2i,mR,(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi,又复数所表示的点在第二象限,m2-40,解得0m2,即m(0,2)时,复数所表示的点在第二象限.21.(12分)已知复数z满足:z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数z;(2
13、)设aR,且1+z1+z2 019+a=2,求实数a的值.解(1)设z=c+di(c,dR),则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i.c2-d2=3,2cd=4,解得c=-2,d=-1,或c=2,d=1.(舍去).z=-2-i;(2)z=-2+i,1+z1+z=-1-i-1+i=1+i1-i=(1+i)22=i,1+z1+z2 019=i2 019=i4504+3=-i,|a-i|=a2+1=2,a=3.22.(12分)已知复数z=12-32i2是一元二次方程mx2+nx+1=0(m,nR)的一个根.(1)求m和n的值;(2)若z1=(a-2i)z,aR,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.解(1)z=12-32i2=14-34-32i=-12-32i是一元二次方程mx2+nx+1=0的一个根,-12+32i是一元二次方程mx2+nx+1=0的另一个根,1m=-12+32i-12-32i=1,则m=1.-12+32i+-12-32i=-nm,得n=1;(2)z1=(a-2i)z=(a-2i)-12-32i=-12a-3+1-32ai为纯虚数,则-12a-3=0,1-32a0,即a=-23.|a+2i|=|-23+2i|=12+4=4.