1、函数与导数解答题1、已知函数f(x)=(2xkxk)e () 当为何值时，无极值； () 试确定实数的值，使的极小值为解：（I）=3分在R上单调递减，所以，f(x)无极值 6分（II）当时，令，得（1） k4时，有x2_00_f(x)极小值极大值令，得，即 k=0.9分2004时，有令，得 k=8所以，由（1）（2）知，k=0或8时，有极小值0 2、已知函数.()若，求曲线在处切线的斜率；()求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：()由已知， 2分.故曲线在处切线的斜率为. 4分(). 5分当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 6分当时，由，得.在区间上，在区间上
2、，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 7分（）由已知，转化为. 8分 9分由()知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 10分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值， 11分所以，解得. 12分3、设函数。 （I）求函数单调区间； （II）若恒成立，求a的取值范围； （III）对任意n的个正整数 （1）求证：（2）求证：解：（I）1分当时，在上是增函数2分当时，令得3分若则，从而在区间上是增函数若则，从而在区间上是减函数综上可知：当时，在区间上是增函数。当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数4分（II）由（I）可知：当时
3、，不恒成立5分又当时，在点处取最大值，且6分令得故若对恒成立，则的取值范围是7分（III）证明：（1）由（II）知：当时恒有成立即9分（2）由（1）知：； ； 把以上个式子相乘得故124、 已知函数 ，其中R（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）当时，讨论函数的单调性解：（）， -1分由导数的几何意义得，于是 -3分由切点在直线上可知，解得 -5分所以函数的解析式为 -6分（）， -7分当时，函数在区间及上为增函数；在区间上为减函数； -9分当时，函数在区间上为增函数；-10分当时，函数在区间及上为增函数；在区间上为减函数 -12分命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数
4、的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。5、已知函数为自然对数的底数 (I) 当时，求函数的极值； () 若函数在-1，1上单调递减，求的取值范围解：（I）当时，2分当变化时，的变化情况如下表：1300递减极小值递增极大值递减所以，当时，函数的极小值为，极大值为.5分（II）令若，则，在内，即，函数在区间上单调递减.7分若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，函数在区间上单调递减.9分若，则，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，即时，在内，函数在区间上单调递减.11分综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是12分6、已知函数，设, .（）试确定的取值范围,使得函
5、数在上为单调函数；（）试判断的大小并说明理由；（）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数.解：（）因为 -1分由；由,所以在 上递增,在上递减 -3分要使在上为单调函数,则 -4分（）因为在上递增,在上递减，在处有极小值 -5分 又， 在上的最小值为 -7分 从而当时,，即 -8分（）证：，又，, 令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数 -9分 , - 10分 当时,所以在上有解,且只有一解 - 11分当时,但由于,所以在上有解,且有两解 - 12分当时,故在上有且只有一解；当时, 所以在上也有且只有一解 - 13分综上所述, 对于任意的,总存在,满足,且当时,有唯
6、一的适合题意；当时,有两个适合题意. -14分（说明:第（3）题也可以令,然后分情况证明在其值域内）7、已知函数（）若在处取得极值，求a的值；（）求函数在上的最大值解：（）， 函数的定义域为 1分 3分在处取得极值， 即， 5分当时，在内，在内，是函数的极小值点 6分（）， 7分 x， ，在上单调递增；在上单调递减， 9分当时， 在单调递增， ； 10分当，即时，在单调递增，在单调递减，； 11分当，即时，在单调递减， 12分综上所述，当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是 13分8、已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程（）；（II）求函数的单调区间
7、.解：（I）当时， 2分所以， 4分所以曲线在处的切线方程为.5分（II）函数的定义域为，6分当时，在上，在上所以在上单调递增，在上递减； 8分当时，在和上，在上所以在和上单调递增，在上递减；10分当时，在上且仅有，所以在上单调递增； 12分当时，在和上，在上所以在和上单调递增，在上递减14分9、已知函数，其中为自然对数的底数.（）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积；（）若函数存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为，求的值.解：（）， 3分当时，所以曲线在处的切线方程为， 5分切线与轴、轴的交点坐标分别为， 6分所以，所求面积为. 7分（）因为函数存在一个极大值点和一个极
8、小值点，所以，方程在内存在两个不等实根， 8分则 9分所以. 10分设为函数的极大值点和极小值点，则， 11分因为，所以， 12分即，解得，此时有两个极值点，所以. 14分10、已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）试讨论曲线与轴的公共点的个数。（）方程, . 记, , 由,得x1或x0所以|8分当，即-ab2a，则(i) 当-ab时，则0a+b所以 0所以 | 12分(ii) 当b2a时，则0，即a2+b20所以=0，即所以 |综上所述：当0x1时，|16分14、已知函数 .（）讨论函数的单调性；（）当时，恒成立，求实数的取值范围；（）证明：.解：（）的定义域为（0，+），2分当时，0
9、，故在（0，+）单调递增；当时，0，故在（0，+）单调递减；4分当01时，令=0，解得. Ks5u则当时，0；时，0.故在单调递增，在单调递减. 6分（）因为，所以当时，恒成立令，则, 8分因为，由得，且当时，；当时，.所以在上递增，在上递减.所以，故 10分（）由（）知当时，有，当时，即，令，则，即 12分所以，相加得而所以，.Ks5u14分15、已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立()求的解析表达式；()设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为求的最小值解：() 设（），则， (2分)由已知，得，解之，得， (4分)()由（1）得，切线的斜率，切线的方程为，即 (6
10、分)从而与轴的交点为，与轴的交点为，（其中） (8分) (9分)当时，是减函数；当时，是增函数 (11分) (12分)16、设函数与的图象分别交直线于点A，B，且曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行。 （1）求函数的表达式； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围。解：（1）由，得，2分由，得又由题意可得，即，故，或4分所以当时，,；当时，由于两函数的图象都过点，因此两条切线重合，不合题意，故舍去 所求的两函数为,6分（2）当时，得，8分由，得，故当时，,递减，当时，,递增,所以函数的最小值为10分（3），,，当时, ,，在上为减函数，12分当时，,，在上为增函数， ，且14分要使不等式在上恒成立，当时，为任意实数；当时，而.所以.16分