1、第七节抛物线一、教材概念结论性质重现1抛物线的概念我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄
2、清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程(3)由y2mx(m0)或x2my(m0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可(4)抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x()(3)抛物线方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦
3、若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a()2已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为()A5 B3或5 C2或6 D6B解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，它与直线xm的距离为d|m1|4，所以m3或5.3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12B解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点过点P作PAy轴，
4、垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.故选B4顶点在原点，且过点P(2,3)的抛物线的标准方程是_y2x或 x2y解析：设抛物线的标准方程为y2kx或 x2my，代入点P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y.5抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点的个数为_2解析：设P(x1，y1)，则|PF|x125，得x13，y12.故满足条件的点的个数为2.考点1抛物线的标准方程基础性1过点F(0,3)且与直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212x Cx212y D
5、x212yD解析：由题意，得动圆的圆心到直线y3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，其方程为x212y.2如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay2x By29x Cy2x Dy23xD解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D设|BF|a，则|BC|2a，|BD|a，故BCD30.在直角三角形ACE中，因为|AF|3，|AC|33a，所以2|AE|AC|，所以33a6，从而得a1.因为BDFG，所以，解得p，因此抛
6、物线方程为y23x.故选D3已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上若抛物线的准线与双曲线5x2y220的两条渐近线围成的三角形的面积等于4，则抛物线的方程为_y28x解析：设抛物线的方程为y22px(p0)，则抛物线的准线方程为x，双曲线的渐近线方程为yx.由围成的三角形面积为4，可得p4，解得p4.所以抛物线的方程为y28x.抛物线标准方程的求法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线的标准方程(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式若焦点在x轴上，设为y2px(p0)；若焦点在y轴上，设为x2py(p0)考点2
7、抛物线的定义及应用综合性(1)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点若|AB|8，则线段AB的中点M到直线x10的距离为()A2 B4 C8 D16B解析：如图，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1，即x10.过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有|AB|AF|BF|AC|BD|8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则|MN|(|AC|BD|)4，即点M到准线x1的距离为4.(2)(2020山东滨州期末)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率为，则PAF的
8、面积为()A2 B4 C8 D8B解析：由题意得，抛物线y24x的焦点F(1,0)，设抛物线y24x的准线与x轴的交点为D，则|DF|2.又直线AF的斜率为，所以AFD60，因此|AF|2|DF|4，FAP60.由抛物线的定义可得|PA|PF|，所以PAF是边长为4的等边三角形，所以PAF的面积为44sin 604.故选B将本例(2)中点A的坐标改为(3,4)，则|PA|PF|的最小值为_2解析：因为点A(3,4)在抛物线的外部，所以当P，A，F共线时，|PA|PF|最小，|PA|PF|AF|2.抛物线定义的应用技巧(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化
9、为点到准线(焦点)的距离问题求解“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关1(2020全国卷)已知点A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9C解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，由抛物线定义得|AF|x0.因为点A到y轴的距离为9，所以x09，所以912，所以p6.故选C2(2020山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y上一动点P(x，y)，则y|PQ|的最小值是_2解析：抛物线y，即x24y，其焦点坐标为点F
10、(0,1)，准线方程为y1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示结合抛物线的定义，有y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|1312，即y|PQ|的最小值是2.考点3抛物线的几何性质综合性考向1范围问题设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)C解析：由抛物线C：x28y知p4，所以焦点F(0,2)，准线方程y2.由抛物线的定义，|MF|y02.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准
11、线相交，且圆心F(0,2)到准线y2的距离为4.所以4y02，从而y02.考向2弦长问题已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：(1)设直线AB的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x22pkx2p0.显然方程有两个不等实根，则x1x22pk，x1x22p.由x22py，得y，则A，B处的切线斜率乘积为1，解得p2.(2)设切线AN的方程为yxb，又切点A在抛物线y上，所以y
12、1，所以b，则切线AN的方程为yANx.同理切线BN的方程为yBNx.又因为N在yAN和yBN上，所以解得N，所以N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，SABN|AB|d2，所以24，所以p2，故抛物线C的方程为x24y.1有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法(2020合肥模拟)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点
13、，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10A解析：抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，故l1：yk(x1)，l2：y(x1)由消去y得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x224.同理得|DE|44k2，所以|AB|DE|84k28216，当且仅当k2，即k1时取等号故|AB|DE|的最小值为16.过抛物线x22y的焦点F作直线交抛物线于A，B两点若|AB|，且|AF|BF|，则
14、|AF|_.四字程序读想算思直线AB与焦点为F的抛物线x22y交于A，B两点1.直线过抛物线的焦点要应用抛物线的什么性质？2.如何用点A的坐标表示AF的长？1.应用三角形相似； 2.设出直线的方程，联立直线和抛物线，用抛物线的焦半径公式表示线段|AB|，|AF|，|BF|转化与化归，数形结合求|AF|的长1.当直线过抛物线的焦点时，要想到应用抛物线的定义，即抛物线上任意一点到焦点的距离和准线的距离相等2.对于焦点在y轴上的抛物线来说，设点A的坐标为(x1，y1)，则|AF|y1|AF|y1，|BF|y2，|AB|y1y2p1.把线段的长度问题转化为抛物线的定义问题；2.把线段的长度问题转化为三角形相似问题思路参考：利用抛物线定义及三角形相似关系求解解析：如图，过A，B分别作准线的垂线设|AF|m，|BF|n，则mn(m0)的焦点F，且倾斜角为120的直线与抛物线在第一、第四象限的交点分别为A，B，则的值等于_解析：(方法一：特殊值法)令p2，则抛物线的方程为y24x，焦点F(1,0)因为直线的倾斜角为120，所以直线方程为y(x1)联立消去y可得3x210x30，解得x1，x23，所以.(方法二：常规法)抛物线的焦点为F，因为直线的倾斜角为120，所以直线方程为y.联立消去y得3x25px0，解得x1，x2.所以.