1、模块综合检测 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.zi，其对应的点位于第二象限2(2019高考全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面解析：选B.对于A，内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交
2、，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确综上可知选B.3如图所示的直观图，其平面图形的面积为()A3B6C3 D.解析：选B.由直观图可得，该平面图形是直角边边长分别为4，3的直角三角形，其面积为S436.4在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样法从中抽取容量为20的样本，则在一级品中抽取的比例为()A. B.C. D.解析：选D.由题意知抽取的比例为，故选D.5从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体验中的视力情况进行统计，其结果
3、的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为()A10 B20C8 D16解析：选B.由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.000.750.25)0.20.4，人数为0.45020.故选B.6一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是()A2，2，3，1 B2，3，1，2，4C2，2，2，2，2，2 D2，4，0，2解析：选D.易得这四组数据的平均数和众数都是2，所以只需计算它们的方差就可以第一组数据的方差是0.5；第二组数据的方差是2.8；第三组数据的方差是0；第四组数据的方差是2.7已知a(1，0)，b(1，1)，且(a
4、b)a，则()A2 B0C1 D1解析：选D.因为ab(1，0)(，)(1，)，所以(ab)a(1，)(1，0)1.由(ab)a得10，得1，故选D.8从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A. B.C. D.解析：选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5420个，符合条件的两位数(2)当个位为偶数时，有5525个，符合条件的两位数因此共有202545个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P.9甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需
5、要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A. B.C. D.解析：选D.设Ai(i1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军法一：BA11A2，故P(B)P(A1)P(1)P(A2).法二：P(B)1P(12)1P(1)P(2)1.10如图，在ABC中，若，则的值为()A3 B3C2 D2解析：选B.因为，所以().所以，又，所以，从而3，故选B.11如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为，a，b，则ab()A5 B1C3 D6解析：选B.设菱形中过A点的两邻边对应的向量分别表示为i，j，且i的方向水平向右，则|i|j|
6、1，i，j60，从而ij.因此ai2j，b3i2j，所以ab(i2j)(3i2j)3i24ij4j23124114121，故选B.12如图，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为()A24 B6C. D.解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为.因为三棱柱的高BC2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R ，所以三棱柱外接球的表面积S4R2.故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分134，4，6，7，
7、7，8，9，9，10，10的30%分位数为_，75%分位数为_解析：因为1030%3，1075%7.5，所以30%分位数为6.5，75%分位数为x89.答案：6.5914同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i1，2，3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.6，P(A3)0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于30
8、0分对应于事件A1A2A3A12A31A2A3发生，故所求概率为PP(A1A2A3A12A31A2A3)P(A1A2A3)P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(2)P(A3)P(1)P(A2)P(A3)0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46.答案：0.4615如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为_解析：连接A1B.因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B
9、1B所成的角为CA1B30.又AA1AC2，所以A1C2，BC.又ABBC，则AB，则该三棱柱的侧面积为222244.答案：4416在矩形ABCD中，AB2，AD1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|，则的最小值为_解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0x2，2y0.因为|，所以|x|y|，所以xy.因为(x，1)，(2x，y1)，所以x(2x)(y1)x22xy1x2x1，所以当x时，取得最小值为.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小
10、题满分10分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，其中a(1，)(1)若|c|4，且ca，求c的坐标；(2)若|b|1，且(ab)，求a与b的夹角.解：(1)因为ca，所以存在实数(R)，使得ca(，)，又|c|4，即4，解得2.所以c(2，2)或c(2，2)(2)因为(ab)，所以(ab)0，即a2abb20，所以421cos 0，所以cos ，因为0，所以.18(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C，a2，ABC的面积为，F为边AC上一点(1)求c；(2)若CFBF，求sinBFC.解：(1)因为SABCab sin C2bsin ，所以b2.由余弦定理可
11、得c2a2b22ab cos C412222cos 4，所以c2.(2)由(1)得ac2，所以AC，ABCAC.在BCF中由正弦定理得，所以sinCBF.又因为CFBF，所以sinCBF，又因为CBF，所以CBF，所以sin BFCsin(CBFBCF)sin.19(本小题满分12分)如图所示，凸多面体ABCED中，AD平面ABC，CE平面ABC，ACADAB1，BC，CE2，F为BC的中点(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：平面BDE平面BCE.证明：(1)取BE的中点G，连接GF，GD，因为AD平面ABC，CE平面ABC，所以ADEC，且平面ABC平面ACED.因为GF为三角形BCE的
12、中位线，所以GFECDA，GFCEDA1.所以四边形GFAD为平行四边形，所以AFGD，又GD平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为ACAB1，BC，所以AC2AB2BC2，所以ABAC.所以F为BC的中点，所以AFBC.又GFAF，BCGFF，所以AF平面BCE.因为AFGD，所以GD平面BCE.又GD平面BDE，所以平面BDE平面BCE.20(本小题满分12分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买 商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概
13、率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)法一：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以
14、估计为0.1.所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大法二：从统计表可以看出，同时购买了甲和乙的顾客，也都购买了丙；同时购买了甲和丁的顾客，也都购买了丙；有些顾客同时购买了甲和丙，却没有购买乙或丁所以，如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能性最大21(本小题满分12分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组20，25)，第2组25，30)，第3组30，35)，第4组35，40)，第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人(1)分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，
15、4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率解：(1)由题意，因为第1组有5人，则0.015n5，n100，所以第3组有0.06510030(人)，第4组有0.04510020(人)，第5组有0.02510010(人)所以利用分层随机抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(
16、A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3至少有一名志愿者被抽中的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，共12种则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为.22(本小题满分12分)如图，四棱锥SABCD中，
17、底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SASC，SABD.(1)求证：SO平面ABCD；(2)设BAD60，ABSD2，P是侧棱SD上的一点，且SB平面APC，求三棱锥APCD的体积解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以ACBD.又因为BDSA，SAACA，所以BD平面SAC，又因为SO平面SAC.所以BDSO.因为SASC，AOOC，所以SOAC.又因为ACBDO，所以SO平面ABCD.(2)连接OP.因为SB平面APC，SB平面SBD，平面SBD平面APCOP，所以SBOP.又因为O是BD的中点，所以P是SD的中点由题意知ABD为正三角形，所以OD1.由(1)知SO平面ABCD，所以SOOD.又因为SD2，所以在RtSOD中，SO.所以P到平面ABCD的距离为，所以VAPCDVPACD.