1、江苏省连云港市海头高级中学2019-2020学年高二数学下学期期初考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数虚部小于0，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由，得，因为，所以.又z的虚部小于0，所以，.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.2.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求出的值，即可求得
2、展开式中的系数【详解】解：由于的展开式的通项公式为，则令，求得，可得展开式中的系数为，故选：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，以及二项展开式的通项公式以及系数的性质3.直线与曲线相切于点,则的值为（ ）.A. B. C. 15D. 45【答案】B【解析】【分析】先将点代入曲线中,解得,得出曲线方程,对曲线方程求导,代入切点的横坐标得斜率,又因为切点在切线上,最后将切点和斜率代入直线方程,即可求得的值.【详解】解:因为曲线过点,所以,所以,所以,所以,所以曲线在点处的切线斜率.因此,曲线在点处的切线方程为,即,所以.故选:B【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率等有关
3、基础知识,属于基础题.4.设是虚数单位，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设,可得：，则，可得：，可得：，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.5.位男生和位女生共位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，本题选择A选项
4、.6.设复数（i是虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】先化简，再根据所求式子为，从而求得结果【详解】解：复数是虚数单位），而，而，故，故选：D【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题7.若能被3整除，则a=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】把17用代换，然后用二项式定理展开，根据题意求出a的值.【详解】因为，由已知可得：.故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了有关整除的问题，考查了数学运算能力.8.已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】B【解析
5、】【分析】求函数的导数，结合函数在（0，+）内有且仅有一个极值点，研究函数的单调性、极值，利用函数大致形状进行求解即可【详解】,函数有且仅有一个极值点,在上只有一个根，即只有一个正根，即只有一个正根，令，则由可得，当时，当时，故在上递增，在递减，当时，函数的极大值也是函数的最大值为1，时，当时，所以当或时，与图象只有一个交点，即方程只有一个根，故或，当时，可得，且，不是函数极值点，故舍去.所以故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，极值，利用函数图象的交点判断方程的根，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求
6、,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分9.若，则m的取值可能是（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】BC【解析】【分析】根据组合的公式列式求解,再结合的范围即可.【详解】根据题意,对于,有0m18且0m8,则有1m8,若,则有,变形可得：m273m,解可得：m,综合可得：m8,则m7或8；故选：BC.【点睛】本题主要考查了组合数的公式运用,属于中档题.10.展开式中系数最大的项（ ）A. 第2项B. 第3项C. 第4项D. 第5项【答案】BC【解析】【分析】根据的展开式的通项公式，求出展开式中各项系数，即得展开式中系数最大的项【详解】解：的展开式的通项公式为，其展开式的各
7、项系数依次为1、4、7、7、，所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项故选：【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，属于基础题11.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.A. B. C. D. 18【答案】BC【解析】【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，将剩下的2个小
8、球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则没有空盒的放法有种；（2）分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；则没有空盒的放法有种；故选：BC【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理
9、能力和运算求解能力12.关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【解析】【分析】A.求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断B.求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可C.利用参数分离法，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可D.令g（t）f（2+t）f（2t），求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可【详解】A.函数的 的定义域为（0，+），函数的导数f（x），（0，2）上，f（x）0，函数单调递减，（2，+）上，f（x）0，
10、函数单调递增，x2是f（x）的极小值点，即A错误；B.yf（x）xlnxx，y10，函数在（0，+）上单调递减，且f（1）1ln11=10，f（2）2ln22= ln210，函数yf（x）x有且只有1个零点，即B正确；C.若f（x）kx，可得k，令g（x），则g（x），令h（x）4+xxlnx，则h（x）lnx，在x（0，1）上，函数h（x）单调递增，x（1，+）上函数h（x）单调递减，h（x）h（1）0，g（x）0，g（x）在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得f（x）kx恒成立，即C不正确；D.令t（0，2），则2t（0，2），2+t2，令g（t）f（2+t）f（2
11、t）ln（2+t）ln（2t）ln， 则g（t）0，g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）g（0）0，令x12t，由f（x1）f（x2），得x22+t，则x1+x22t+2+t4，当x24时，x1+x24显然成立，对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）f（x2），则x1+x24，故D正确故正确的是BD，故选：BD【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位
12、），则|z3+4i|的最大值为_.【答案】6【解析】【分析】根据复数的几何意义得|z+1+i|=1，表示以为圆心，1为半径的圆，|z3+4i|表示复数z所对应的点到点的距离，然后再利用点于圆的位置关系求解.【详解】由复数的几何意义得|z+1+i|=1，表示以为圆心，1为半径的圆，|z3+4i|表示复数z所对应点到点的距离，点到圆心的距离为，所以|z3+4i|最大值为.故答案为：6【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.14.在（x4）5展开式中x3的系数是_.（用具体数作答）【答案】180【解析】【分析】利用通项公式，先求得（x4）5的展开式中的通项公式为：
13、，再求得在的展开式中的通项公式根据x3求解.【详解】在（x4）5的展开式中：通项公式为：，在的展开式中：通项公式：，令，当，当，所以x3的系数是.故答案为：180【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有_种【答案】12【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有261=12种考点：排列、组合及简单计数问题16.已
14、知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）总是不单调.则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】对于函数求导，可知或 时， 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）总是不单调.，则不能为增函数求解.【详解】对于函数，当或 时，当时，所以 一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（，+）总是不单调.，则不能为增函数，所以 ，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其余各12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已
15、知复数（为虚数单位）（1）若，求复数的共轭复数；（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值【答案】（1） ；（2）.【解析】【分析】（1）先由方程解出，运算化简，再写出其共轭复数即可；（2）代入化简，根据复数相等列方程解出即可.【详解】解：（1）因为复数，所以，即所以（2）因为复数是关于 的方程一个虚根，所以整理得解【点睛】本题考查了复数的运算与概念，属于基础题.18.2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生平必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？（2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据定序法确定排列数，（2）先求相邻的排列
16、数（捆绑法），再用全排列相减得结果.详解：（1）法1：，法2：； （2）答：分别有360和576种不同的排法. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.19.（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，是一个常数.）（）写出
17、月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；（）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.【答案】（）；（）月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）【解析】【分析】试题分析：（）根据题设条件：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；（）先求函数的导数，再利用导数的符号判断函数在的单调性并进一步据此求出其最大值及最大值点.试题解析：解：（）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月
18、总成本，可得（）的定义域为，且列表如下：+-增极大值减 由上表得：在定义域上的最大值为.且.即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）.考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用.【详解】请在此输入详解！20.已知函数.（1）当时，求展开式中系数的最大项；（2）化简；（3）定义：，化简：.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项，中间项为第5项，其系数最大（2）根据，令，即可求值(3)原式添加，利用倒序相加，化简即可.【详解】（1）系数最大的项即
19、为二项式系数最大的项（2）原式（3） 在、添加，则得1+ 1+ +得：2（1+） =【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题.21.（1）已知（1x+x2）3（12x2）4=a0+a1x+a2x2+a14x14，求a1+a3+a5+a13的值.（2）已知，求的值.【答案】（1）13；（2）（）2017.【解析】【分析】（1）根据（1x+x2）3（12x2）4=a0+a1x+a2x2+a14x14，分别令x=1，x=1，两式相减即可.（2）根据，令x=2可得0=a0，再令x可得（）2015=a0，然后求解.【详解】（1）因为（1x+x2）3（12x2）4=a0
20、+a1x+a2x2+a14x14，令x=1可得1=a0+a1+a2+a14，令x=1可得27=a0a1+a2+a14，两式相减可得，a1+a3+a5+a13（127）=13；（2）因为，令x=2可得0=a0，令x可得（）2015=a0，可得（）2017.【点睛】本题主要考查二项展开式的系数的和，赋值法是解题的关键，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数x3x22x（aR）.（1）当a=3时，求函数的单调递减区间；（2）若对于任意x都有成立，求实数a的取值范围；（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.【答案】（1）（，1）和（2，+）；（2）（1，8）；（3）（2
21、，+）.【解析】【分析】（1）当a=3时，得=x2+3x2，则由0求解.（2）由，得，根据对于任意x1，+）都有2（a1）成立，则转化为，对于任意x1，+）都有max2（a1）.因为，再利用二次函数的图象和性质求解.（3）设点是函数y=f（x）图象上的切点，过点P的切线方程为. 根据点在切线上，整理得.，根据过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解，再令，要求函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点即可.【详解】（1）当a=3时，得=x2+3x2.因为0，得x1或x2，所以函数f（x）单调递减区间为（，1）和（2，+）.（2）由，得，因为对于任意x1，+）都有2（a1
22、）成立，所以问题转化为，对于任意x1，+）都有max2（a1）.因为，其图象开口向下，对称轴为.当时，即a2时，f（x）在1，+）上单调递减，所以max=a3，由a32（a1），得a1，此时1a2.当时，即a2时，在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得0a8，此时2a8.综上可得，实数a的取值范围为（1，8）.（3）设点是函数y=f（x）图象上的切点，则过点P的切线的斜率为k=t2+at2， 所以过点P的切线方程为. 因点在切线上，所以，即. 若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解.令，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点.令=2t2at=0，解得t=0或. 因为，所以必须，即a2.所以实数a的取值范围为（2，+）.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，一元二次不等式恒成立以及导数与函数的零点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
