1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时冲关练(十)与数列交汇的综合问题(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014长沙模拟)等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S4=36,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率是()A.1B.2C.4D.【解析】选C.由已知得,a1+a2=10,又a3+a4=S4-S2=26,两式相减得,4d=16,故d=4,所以过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN*)的直线的斜率k=d=4.2.某棵果树前n年的总产
2、量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为()A.5B.7C.9D.11【解题提示】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点连线的斜率,结合图象可得答案.【解析】选C.由题意知,此棵果树前m年的平均产量为(mN*,1m11),数形结合,该值可转化为散点图中的点(m,Sm)与原点(0,0)连线的斜率,即km=,观察散点图,可知,当m=9时,km达到最大,即前9年的年平均产量最高,故m的值为9,选C.3.数列an的前n项和Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=ax2+x(aN*)的图象上,
3、则()A.a与an的奇偶性相同B.n与an的奇偶性相同C.a与an的奇偶性相异D.n与an的奇偶性相异【解题指示】本题主要考查数列通项an与前n项和Sn之间的关系及函数解析式.首先将点代入函数解析式确定an与Sn,最后分析n与an的奇偶性.本题易忽视判断a与a1的奇偶性,即忽视a1与S1的关系.【解析】选C.因为对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=ax2+x(aN*)的图象上,所以Sn=an2+n,当n=1时,a1=S1=a+1,当n2时,an=Sn-Sn-1=an2+n-a(n-1)2+(n-1)=2an-a+1,当n=1时,2an-a+1=a1=a+1.所以an=2an-a+1=(2
4、n-1)a+1,所以a与an的奇偶性相异,而n的奇偶性与an的奇偶性无关.故选C.4.设等差数列an的前n项和为Sn且满足S150,S160,得a80,由S16=0,得a9+a80,所以a90,且d0,S16,Sn0,则0,0,又S8S1,a1a8,所以0,所以最大的项为.5.(2014郑州模拟)已知数列an满足an+2-an+1=an+1-an,nN*,且a5=.若函数f(x)=sin2x+2cos2,记yn=f(an),则数列yn的前9项和为()A.0B.-9C.9D.1【解析】选C.由数列an满足an+2-an+1=an+1-an,nN*,可知该数列是等差数列,根据题意可知只要该数列中a
5、5=,数列yn的前9项和就能计算得到一个定值,又因为f(x)=sin2x+1+cosx,则可取特殊情况:数列an的公差为0,则数列yn的前9项和为S9=(sin2a1+sin2a2+sin2a9)+(cosa1+cosa2+cosa9)+9=9sin2a5+9cosa5+9=9sin+9cos+9=9.6.(2014杭州模拟)已知数列an满足条件:a1=,an+1=(nN*),则对n20的正整数,an+an+1=的概率为()A.B.C.D.0【解析】选B.因为a1=,所以a2=3,a3=-2,a4=-,a5=,故an是以4为周期的数列,其中满足an+an+1=(n20)的共有a4+a5,a8+
6、a9,a12+a13,a16+a17,a20+a215种,所以所求概率为=.7.若an=sin,Sn=a1+a2+an,则在S1,S2,S100中,正数的个数是()A.25B.50C.75D.100【解题提示】三角函数要注意其周期性的应用,把握问题的本质.周期T=50,先研究S1,S2,S25,由于a1,a2,a250,只要考虑a26,a27,a50,根据正弦函数的性质可以确定.【解析】选D.依据题设及an=sin,因为f(x)=sin的周期为T=50,又sin0,sin0,sin0,sin=0,所以在S1,S2,S25中有25个是正数,又当26n50时,因为sinan=sinsin0,Sn=
7、sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin0,故在S26,S50中有25个是正数.同理研究S51,S52,S100,得到,在S1,S2,S100中有100个是正数.故选D.8.(2014温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f=f(x),f(-2)=-3,数列an满足a1=-1,且=2+1(其中Sn为an的前n项和),则f(a5)+f(a6)=()A.-3B.-2C.3D.2【解析】选C.因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f=f(x),所以f=-f(-x),所以f=-f(x),所以f(3+x)=f=-f=-f(x)=f(x),所以f(x)是以3
8、为周期的周期函数.因为数列an满足a1=-1,且=2+1,所以a1=-1,且Sn=2an+n,易推知an=-2n+1,所以a5=-31,a6=-63,所以f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3.故选C.二、填空题(每小题4分,共16分)9.(2014台州模拟)已知函数f(x)对应关系如表所示,数列an满足a1=3,an+1=f(an),则a2015=.x123f(x)321【解析】由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,所以数列an是周期为2的数列,所以a2015=a1=
9、3.答案:310.(2014天津模拟)在数列an中,an=(n+1),则数列an中的最大项是第项.【解析】假设an最大,则有即所以即6n7,所以最大项为第6或7项.答案:6或7【方法技巧】最大项问题的解题策略(1)若数列an中的最大项为ak,则(2)若数列an中的最小项为ak,则大小比较通常可以比商或者比差.11.如图,一条螺旋线是用以下方法画成:ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线.旋转一圈,然后又以点A为圆心,AA3为半径画弧,这样画到第n圈,则所得螺旋线的长度ln=(用弧度制表示
10、即可).【解析】依题意,螺旋线第一圈的长度为(1+2+3),第二圈的长度为(4+5+6),第三圈的长度为(7+8+9),依次类推,第n圈的长度为(3n-2)+(3n-1)+3n,所以螺旋线的总长度:ln=(1+2+3+3n)=(3n2+n).答案:(3n2+n)12.已知数列bn通项公式为bn=3+,Tn为bn的前n项和.若对任意nN*,不等式2n-7恒成立,则实数k的取值范围为.【解题提示】根据题意首先需要将数列bn的前n项和Tn求出,然后代入不等式并进行变形,参变分离转化为求数列最值问题去处理.【解析】因为bn=3+,所以Tn=3+=+=6+.因为不等式2n-7,化简得k对任意nN*恒成立
11、.设cn=,则cn+1-cn=-=,当n5且nN*时,cn+1cn,cn为单调递减数列,当1ncn,cn为单调递增数列,=c40,所以a3=5,a5=9,公差d=2,所以an=a5+(n-5)d=2n-1.又当n=1时,有b1=S1=,所以b1=.当n2时,有bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn),所以=(n2),所以数列bn是首项b1=,公比q=的等比数列,所以bn=b1qn-1=.又b1=也符合上式,故bn=.(2)由(1)知cn=anbn=,cn+1=,所以cn+1-cn=-=0,所以cn+1cn,故数列cn的最大项为c1=.14.(2014湖南师大附中模拟)若an是各项均不为零的等差
12、数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足=S2n-1,nN*.数列满足bn=,Tn为数列的前n项和.(1)求an和Tn.(2)是否存在正整数m,n,使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)在=S2n-1中,令n=1,2,解得a1=1,d=2,从而an=2n-1,bn=,于是Tn=+=.(2)假设存在正整数m,n(1m0,由分子为正,解得1-m1,得m=2,此时n=12,当且仅当m=2,n=12时,T1,Tm,Tn成等比数列.【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点:(1)注意解题策略.本题已经定性是等差数列,只要求出基本量,取n=1
13、,2,回到最简单的情形即可,不需大动干戈.(2)探索性问题转化为一般问题.通过假设存在,建立关系式,问题成为常规题.(3)注意总结解题规律:双变量问题一般思路有:突出一个主元;通过一个变量的内在约束条件,建立另一个变量的关系式(等式、不等式),进而确定两个量.【加固训练】(2014上海模拟)如果存在常数a使得数列an满足:若x是数列an中的一项,则a-x也是数列an中的一项,称数列an是关于常数a的“兑换数列”.(1)若数列:1,2,4,m(m4)是关于a的“兑换数列”,求m和a的值.(2)已知项数为n0(n03)的有限等差数列bn,其所有项的和是B,求证:数列bn是关于常数的“兑换数列”.(
14、3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增等比数列cn,是否是“兑换数列”?若是,请求出常数a的值;否则请说明理由.【解析】(1)因为数列:1,2,4,m(m4)是关于a的“兑换数列”,所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-ma-4a-21),因为数列cn为递增数列,所以设c1c2c3a-c2a-c3a-cn.若数列cn为“兑换数列”,则a-cicn(i=1,2,),所以a-ci是正整数,故数列cn必为有穷数列,不妨设项数为n项,则ci+cn+1-i=a(1in).若n=3,则有c1+c3=a,c2=,又=c1c3,由此得q=1,与q1矛盾;若n4,由c1+cn=c2+c
15、n-1,得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0,即(q-1)(1-qn-2)=0,故q=1,与q1矛盾.综合得,满足条件的等比数列cn不是“兑换数列”.15.(2014稽阳模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=1,S9=45.数列bn满足bn=.(1)求数列an的通项公式an.(2)设数列bn的前n项和为Tn,求证:-Tn-1.【解析】(1)由于故故等差数列的公差d=2,a1=-3,故数列an的通项公式为an=2n-5.(2)由于bn=,则两式相减即得=+2-=+2-=-,从而Tn=-1-.由于Tn+1-Tn=-=-+=,故当n2时Tn+1Tn,从而T1T2,T2T3,T30,开口向上,在(0,+)上,当x=时函数取得最小值,所以an=.(2)bn=.Sn=+=.(3)不存在符合条件的Ai,Aj,理由:任取Ai,Aj(i,jN*,ij),设AiAj所在直线的斜率为kij,则kij=1.关闭Word文档返回原板块