1、第五节空间向量及其运算一、教材概念结论性质重现1空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度(模)为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果2空间向量中的有关定理语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab共面向量定理如果两个向量a，b不共线
2、，那么向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题3空间向量的数量积(1)两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b范围：0a，b.(2)两个非零向量a，b的数量积：ab|a|b|cosa，b(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：两个向量有相同的起点向量的方向(
3、2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即abba，a(bc)abac成立，(ab)ca(bc)不一定成立4空间向量的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围
4、不同，最后应进行转化5常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(R)；对空间任一点O，t(tR)；对空间任一点O，xy(xy1)(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：xy；对空间任一点O，xy；(或或)二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)空间中任意两个非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中，(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，若abbc，则ac()(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反()(5)若ab0
5、，则a，b是钝角()2设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3 B4 C5 D6C解析：因为，所以uv262(4)4t0，解得t5.3在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，AA1c，则下列向量中与相等的向量是()AabcBabcCabc DabcA解析：()c(ba)abc.4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是()A(1,1,1)B(1，1,1)C DC解析：设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得所以xyz.故选C5下列说法：若A，B，C，D是空间任
6、意四点，则有0；|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若a，b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若xyz(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面其中不正确的为_(填序号)解析：中四点恰好围成一个封闭图形，正确；中当a，b同向时，应有|a|b|ab|；中a，b所在直线可能重合；中需满足xyz1，才有P，A，B，C四点共面考点1空间向量的线性运算基础性1在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则等于()AabcBabcCabc DabcB解析：()abc.2在空间四边形ABCD中，(3,5,2)，(7，1，4)，点
7、E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为()A(2,3,3)B(2，3，3)C(5，2,1)D(5,2，1)B解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以，()，()所以()()()(3，5，2)(7，1，4)(4，6，6)(2，3，3)3如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2.若xyz，则xyz_.解析：连接ON，设a，b，c，则()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.用已知向量表示未知向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理
8、解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立考点2共线向量定理、共面向量定理及其应用综合性(1)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若向量a，b，c共面，则实数等于()A B C DD解析：因为向量a，b，c共面，所以，由共面的向量基本定理，存在唯一实数x，y，使得xaybc，所以解方程组得.(2)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.求证：A，E，C1，F四点共面；已知xyz，求xyz
9、的值证明：()().又，有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面解：因为().所以x1，y1，z，所以xyz.证明点共线、点共面的方法(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，即证明(0)(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy或对空间任一点O，有xy或xyz(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件1已知向量a(2m1,3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A B2 C0 D或2B解析：当m0时，a(1,3，1)
10、，b(2,0,0)，a与b不平行，所以m0.当m0时，因为ab，所以，解得m2.2已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面证明：连接BG，EG，如图，因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以()，所以E，F，G，H四点共面3如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B平面AC1D证明：设a，c，b，则ac，ab，bac，所以2.因为A1B平面AC1D，所以A1B平面AC1D考点3空间向量的数量积及其应用应用性考向1空间向量数量积的运算(1)在空间四边形ABCD中，()A1 B0 C1 D
11、不确定B解析：(1)如图，令a，b，c，则a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.(2)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当取得最小值时，的坐标是_解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106.当时，取得最小值.此时.空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算考向2空间向量数量积的应用如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点
12、的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值(1)解：记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以abbcca.|1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，所以|AC1|，即AC1的长为.(2)证明：因为1abc，ba，所以1(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.所以1，所以AC1BD(3)解：因为1bca，ab，所以|1|，|，1(bca)(ab)bab2cacba2ab1.所以cos1，.所以AC与BD1夹角的余弦值为.
13、空间向量数量积的应用求夹角设向量a，b的夹角为，则cos ，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2aa，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点建立空间直角坐标系解决下列问题：(1)求；(2)求cos，C1G；(3)求FH的长解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0，1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.(1)，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，所以(1)0(1)0.(2)因为(0,1,1)，所以|.又因为0(1)，|，所以cos，.(3)因为F，H，所以.所以|.故FH的长为.