1、第五节数列的综合应用考纲传真能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(见学生用书第93页)1解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤用框图表示如下：2数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数
2、列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)银行储蓄的单利公式是等差数列模型()(2)银行储蓄的复利公式是等比数列模型()(3)数列an的通项公式ann22an1，若数列an是递增数列，则a1()(4)数列an是正项等比数列，bnlogaan(a0且a1)，则数列bn是等差数列()【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和
3、100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A6秒钟B7秒钟C8秒钟D9秒钟【解析】设至少需要n秒钟，则121222n1100，100，n7.【答案】B3(2013黄山高三第二次质检)已知a,1，c成等差数列，a2,1，c2成等比数列，则log(ac)(a2c2)()A1 B1或log26C3 D3或log26【解析】由条件得ac1，所以logac(a2c2)log2(42ac)1或log26.【答案】B4一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为_【解析】由于凸n边形的内角和为(n2)，故n(n2).化简得n225n1440.解得n9或n16(舍去)
4、【答案】95(2013江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.【答案】6(见学生用书第93页)考向1等差数列与等比数列的综合应用【例1】(2013湖北高考)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在
5、，说明理由【思路点拨】(1)列出关于a1，q的方程组求解；(2)假设存在正整数n，根据等比数列的前n项和公式列出关于n的不等式，通过解不等式作出判断【尝试解答】(1)设等比数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.假设存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，即n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5,规律方法1对于等差、等比数列的综合问题，应重点
6、分析等差、等比数列的通项、前n项和，以及等差、等比数列项之间的关系，利用性质之间的对偶与变式进行转化变式训练1已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655，a2a716.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an和数列bn满足等式an(n为正整数)，求数列bn前n项和Sn.【解】(1)设等差数列an的公差为d，则依题意知d0，由a2a716，得2a17d16，由a3a655，得(a12d)(a15d)55，由得2a1167d，将其代入得(163d)(163d)220，即2569d2220.d24，又d0，d2，代入得a11，an1(n1)22n1.(2)当n1时，a1，b12.当n
7、2时，an，an1，两式相减得anan1，bn2n1，bn当n1时，S1b12；当n2时，Snb1b2b3bn22n26，当n1时上式也成立综上，当n为正整数时，Sn2n26.考向2数列的实际应用【例2】从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，2013年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(2013年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超
8、过总投入？【思路点拨】(1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和(2)解不等式bnan，求n的最小值【尝试解答】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，第n年投入为800n1万元，所以，n年内的总投入为an800800800n14 000.第1年旅游业收入400万元，第2年旅游业收入400万元，第n年旅游业收入400n1万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn400400400n11 600.(2)设经过n年，总收入超过总投入，由此bnan0，即1 6004 0000，令xn，代入上式得5x27x20，解此不等式，得x，或x1(舍去)，即n，由此得n5.答：至少经过5年，旅游业的
9、总收入才能超过总投入,规律方法21.解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项2数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型3与等比数列联系密切的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题等变式训练2(2012湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全
10、部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)【解】(1)由题意a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d.an1an(150%)dand.(2)由an1and，得an12d(an2d)，an2d是公比为的等比数列，则an2d(3 0003d)n1，an(3 0003d)n12d，又am4 000，m1(3 0003d)2d4 000，解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m
11、(m3)年企业的剩余资金为4 000万元考向3数列与函数、不等式的综合应用【例3】(2013天津高考)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值【思路点拨】(1)利用等比数列的性质结合已知条件求出公比q，进而可得到通项公式；(2)利用数列的单调性求数列的最大项与最小项的值【尝试解答】(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1
12、，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.,规律方法31.由于Sn的表达式是分段函数，因此分n为奇数，n为偶数两种情况求解2解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理变式训练3(2013淮北高三第一次质检)已知数列an满足a
13、11，anan12anan10(nN*，n2)(1)求证：数列是等差数列，并求an的通项公式；(2)设bnanan1，求证：b1b2bn.【证明】(1)由题意知anan12anan10，两边同除以anan1，得2，所以数列是以1为首项，2 为公差的等差数列于是2n1，故an(nN*)(2)由(1)知bn，则b1b2bn.四种思想解决数列问题常用的四种思想1用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1,2，n上的函数2用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程3用转化化归的思想求解数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究4用特殊与一般思想探
14、究数列问题，研究数列的前n项，将获得的规律推广到一般，可获得一般问题的求解方法.(见学生用书第95页)数列的综合应用是高考的重点内容，重点考查学生分析问题和解决问题的能力从高考命题来看，本考点突出知识的交汇，题型多样，小题“以小见大”，解答题往往需运用数列与其他知识(方程、不等式、函数)综合解决，创新能力要求高，突出数学思想方法的考查，在求解过程中应注意解答的规范化规范解答之六数列与不等式的综合应用 (14分)(2013广东高考)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.【规范解答】(1)依题意，
15、2S1a21，又S1a11，所以a24.2分(2)由题意2Snnan1n3n2n，所以当n2时，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，5分整理得nan1(n1)ann(n1)，即1.又当n1时，1，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2，所以数列an的通项公式为ann2，nN*.8分(3)证明 设Tn.当n1时，T11；当n2时，T21；10分当n3时，此时Tn111.综上，对一切正整数n，有.14分【解题程序】第一步：求a2的值；第二步：利用anSnSn1，得到an1与an的关系；
16、第三步：证明数列是等差数列，从而求出an；第四步：验证n1,2时不等式成立；第五步：利用进行不等式放缩；第六步：利用裂项相消法求Tn，从而可得Tn.易错提示：(1)解答第(2)题时，对nan1(n1)ann(n1)不会变形，导致无法继续求解(2)解答第(3)题时，不会使用(n2)进行放缩，或从第二项开始放缩，导致无法证明防范措施：(1)已知an1与an的关系中含有项数n求an时，有三种处理方法：一是累加，二是累乘，三是通过相除构造新数列，本题是通过第三种方法求解的(2)(n2)是常见的放缩方法，要切实掌握，同时在放缩过程中，要考虑从哪项开始放缩合适，以免放的过大1(2013辽宁高考)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则S6_.【解析】因为a1，a3是方程x25x40的两个根，且数列an是递增的等比数列，所以a11，a34，q2，所以S663.【答案】632(2012福建高考)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_【解析】设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，由题意得ba，c2a.在ABC中，由余弦定理得cos C.【答案】