1、6.1.3基本初等函数的导数新版课程标准学业水平要求1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数2.能利用给出的基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数3.会使用导数公式表1.借助教材实例了解利用定义求函数的导数.(数学运算)2.掌握基本初等函数的导数公式,并会利用公式求简单函数的导数.(数学运算)3.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题.(数学运算)必备知识素养奠基1.导函数一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一个点x都可导,则称f(x)可导,此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f(x),于是,在f(x)的
2、定义域内,f(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作:f(x)(或y,yx),即f(x)=y=yx=.2.几个常用函数的导数函数f(x)=C,其中C是常数f(x)=xf(x)=x2f(x)=x3f(x)=f(x)=导数f(x)=0f(x)=1f(x)=2xf(x)=3x2f(x)=-f(x)=3.常用函数的导数公式,其中C,a均为常数,a0,且a1函数导数函数导数f(x)=Cf(x)=0f(x)=axf(x)=ax ln af(x)=xf(x)=x-1f(x)=exf(x)=exf(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=logaxf(x)=f(x)=cos xf
3、(x)=-sin xf(x)=ln xf(x)=(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系?提示:f(x)=ex是底数为e的指数函数,是特殊的指数函数,所以其导数f(x)=ex也是f(x)=axlna当a=e时的特殊情况.(2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系?提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例,f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)(sinx)=-cos x.()(2)=.()(3)(log5x)=.()(4)(lnx)=.()提示:(1).(sin
4、x)=cos x.(2).=(x-1)=-x-2=-.(3).(log5x)=.(4).2.已知f(x)=x2,则f(3)等于()A.0B.2xC.6D.9【解析】选C.因为f(x)=x2,所以f(x)=2x,所以f(3)=6.关键能力素养形成类型一利用导数公式计算导数【典例】1.f(x)=a3(a0,a1),则f(2)=()A.8B.12C.8ln 3D.02.已知f(x)=,则f(1)=()A.1B.-1C.3D.-33.求下列函数的导数.(1)y=x6.(2)y=2x.(3)y=log3x.(4)y=.【思维引】运用基本初等函数的导数公式.【解析】1.选D.f(x)=a3(a0,a1)是
5、常数函数,所以f(x)=0.所以f(2)=0.2.选D.f(x)=x-3,所以f(x)=-3x-4,所以f(1)=-3.3.(1)y=(x6)=6x5.(2)y=(2x)=2xln 2.(3)y =(log3x) = .(4)y=(x-2)=-2x-3.【内化悟】运用导数公式求导需注意什么问题?提示:认真审题,确定函数类型,准确选择公式计算.【类题通】运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数,直接套用公式;(2)对于较为复杂,不能直接套用公式的,可先把题中函数恒等变形为基本初等函数,再求导.【习练破】1.已知函数f(x)=cos,则f(x)=()A.sinB.-sinC.c
6、osD.0【解析】选D.f(x)=cos=-,所以f(x)=0.2.已知f(x)=,则f=_.【解析】因为f(x)=,所以f(x)=,所以f=.答案:【加练固】若函数f(x)=,则f(1)=()A.0B.-C.1D.【解析】选B.因为f(x)=,所以f(x)=-,f(1)=-.类型二导数公式的应用【典例】1.曲线y=在点处的切线方程为()A.4x-4y+2-1=0B.4x-4y+1=0C.4x-4y+2-=0D.4x+4y-3=02.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则点P处的切线方程为_.【思维引】1.求函数y=在x=处的导数,即为切线的斜率.2.先求
7、函数y=ex在x=0的导数,依题意求出函数y=(x0)上点P处的导数,从而求出点P的坐标.【解析】1.选B.由于y=,所以y=,于是y=1,所以曲线在点处的切线的斜率等于1,切线方程为4x-4y+1=0.2.由题意知,y=ex,曲线在点(0,1)处的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x0)的导数为y=-(x0),曲线y=(x0)在点P处的切线斜率k2=-(m0),由题意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即点P的坐标为(1,1),k2=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0.答案:x+y-2=0【内化悟】应用导数公式求切线方程的关键是什么?提示:确定切点,求函数在
8、切点处的导数,即切线的斜率.【类题通】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.【习练破】(2020全国卷)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1【解题指南】求得函数f(x)的导数f(x),计算出f(1)和f(1)的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可.【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f(1)=-2,因
9、此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.【加练固】函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有_条.()A.1B.2C.多于两个D.不能确定【解析】选B.因为f(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=.所以可得切点坐标为和.所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.课堂检测素养达标1.下列结论不正确的是()A.若y=3,则y=0B.若y=,则y=-C.若y=-,则y=-D.若y=3x,则y=3【解析】选B.y=()=-=- .2.若y=ln x,则其图象在x=2处的切线斜率是()A.1B.0C.2D.【解析】选D.因为y=,所以yx=2=,故图象在x=2处的切线斜率为.3.若y=sin x,则y=()A.B.-C.D.-【解析】选A.y=cos x,y=cos=.4.曲线y=ln x与x轴交点处的切线方程是_.【解析】因为曲线y=ln x与x轴的交点为(1,0),所以y=1,切线的斜率为1,所求切线方程为y=x-1.答案:y=x-1
