1、第二节函数的单调性与最大(小)值考纲传真1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质(见学生用书第10页)1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都
2、有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|是R上的增函数() (4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)3x22(a1
3、)xb在区间(，1)上是减函数，则()Aa2Ba2Ca2Da2【解析】二次函数的对称轴方程为x，由题意知1，即a2.【答案】C3(2014西城模拟)下列函数中在区间(0，)上单调递减的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)【解析】根据函数的图象知，函数f(x)在(0，)上单调递减，故选A.【答案】A4函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_【解析】由2k10得k.【答案】k0恒成立，试求实数a的取值范围【思路点拨】(1)先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论【尝
4、试解答】(1)当a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)minf(1)12.(2)f(x)x2，x1，)当a0时，f(x)在1，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.当0a1时，f(x)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)a3.a30，a3.0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是3,1,规律方法2利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，
5、b上是减函数呢？变式训练2设f(x)x22ax(0x1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)试求M(a)及m(a)的表达式【解】f(x)x22ax(xa)2a2，x0,1当a0时，M(a)f(1)12a，m(a)f(0)0；当0a时，M(a)f(1)12a，m(a)a2；当a1时，M(a)f(0)0，m(a)a2；当a1时，M(a)f(0)0，m(a)f(1)12a.综上，M(a)m(a)考向3函数单调性的应用【例3】(2014芜湖模拟)已知函数f(x)在R上单调递减，求实数a的取值范围【思路点拨】首先保证函数在每一段上单调递减，然后保证在区间端点处的函数值“左右”【尝试解答】当x1时，要使函
6、数f(x)单调递减，则有2a1，即a，当x1时，要使函数f(x)单调递减，则有0af(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2分段函数的单调性：(1)首先保证分段函数在每一段上单调递增(减)(2)其次保证在区间端点处的函数值“左右(增)”或“左右(减)”变式训练3(2013黄山高三第一次质检)已知函数f(x)lg(axbx)x中，常数a，b满足a1b0，且ab1，那么f(x)1的解集为()A(0,1)B(1，)C(1,10) D(10，)【解析】a1b0，且ab1，f(x)lg(axbx)x在R上单调
7、递增，且f(1)1.由f(x)1，得f(x)f(1)，x1.【答案】B两点注意1.单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优先2函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“”连接，如函数y单调减区间为：(，0)，(0，)三条结论1.奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反2闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到3开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值四种方法函数单调性的判断1定义法：取值、作差、变形、定号、下结论2利用函数的性质：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函
8、数3导数法：利用导数研究函数的单调性4图象法：利用图象研究函数的单调性.(见学生用书第12页)函数的单调性与最值是高考考查的重点内容，主要涉及单调性的判断，求函数的单调区间与最值，函数单调性的应用；考查数形结合、转化与化归等数学思想，在求解过程中要注意遵循“定义域优先”的原则，否则易造成解答失误易错辨析之二忽视函数的定义域致误 (2014南京模拟)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_【错解】函数f(x)的图象如图所示，则f(1x2)f(2x)可转化为1x22x.解得1x1.【答案】1xf(h(x)或f(g(x)f(2x)，则即得x(1，1)【答案】(1，1)1(2012广东高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByCy()x Dyx【解析】对于A选项，可看成由函数yln u，ux2复合而成，由于两函数都为增函数，单调性相同，所以函数yln(x2)在(2，)上为增函数B、C均为减函数对于D选项，yx在(，1)，(1，)上为增函数【答案】A2(2012安徽高考)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.【解析】f(x)|2xa|函数的单调递增区间为，3，a6.【答案】6