1、同步测控我夯基,我达标1.用数学归纳法证明“(nN*)”时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是( )A. B.C. D.解析:当n=k时,不等式为,当n=k+1时,不等式为,即为选C.答案:C2.用数学归纳法证明1+1)时,第一步即证下述哪个不等式成立( )A.12 B.1+2 C.1+2 D.1+1,nN*,第一步中n取2.左边=1+=1+.答案:C3.关于正整数n的不等式2nn2成立的条件是( )A.nN* B.n4 C.n4 D.n=1或n4解析:当n=1时,不等式为21成立,当n=2时,不等式为2222不成立.当n=4时,2442不成立,排除A、B、C.选择D.答案:D4.
2、用数学归纳法证明“1+1)”时,由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1解析:当n=k时,不等式为1+k,当n=k+1时,不等式为1+k+1,2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k,共增加了2k项.答案:C5.对于不等式(nN*),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,1+1,不等式成立.(2)假设n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则n=k+1时,f(2).m2,f(8),f(16)3,f(32),观察上述结果,可推测出一般结论( )A.f(2n) B.f(n2)C.f(2n) D.以上都不对解
3、析:f(2)=,f(4)=f(22),f(8)=f(23),f(16)=f(24),f(32)=f(25).所以猜想f(2n).答案:C8.如果123+234+345+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立,a、b的值应该等于( )A.a=1,b=3 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=2 D.a=2,b=3解析:令n=1,n=2得到关于a、b的方程组,解之即可.答案:D我综合，我发展9.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,则得出结论:_.解析:观察得到从n开始连续加(2n-1)个自然数之和
4、,右边为中间奇数的平方,结论为n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)210.在数列an中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,则S2,S3,S4分别为_,猜想Sn=_.解析:Sn,Sn+1,2S1成等差数列,2Sn+1=Sn+2S1.又S1=a1=1,2S2=S1+2S1=3S1=3.S2=,2S3=S2+2S1=+2=.于是S3=.由此猜想Sn=.答案:, 11.用数学归纳法证明+,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是_.解析:观察用k+1替换不等式中的n,即为+- .答案:12.
5、已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立,那么a=_, b=_,c=_.解析:当n=1,n=2,n=3时得到三个等式,解方程组求得a、b、c.答案: 13.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式(1+)(1+)(1+)成立.分析:注意由n=k到n=k+1时的变化部分及应用归纳假设后的变形技巧.证明:(1)当n=2时,左边=1+=,右边=,左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即(1+)(1+)(1+)成立,则当n=k+1时,左边=(1+)(1+)(1+)(1+)=右边.当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2),可知不等式对一切
6、大于1的自然数n都成立.14.设数列an满足a1=2,an+1=an+(n=1,2,3,).求证:an对一切正整数n成立.分析:本题中由n=k变到n=k+1时,并不能直接代入归纳假设.ak,而,不等式成立,假设n=k时,ak成立.当n=k+1时,ak+12=ak2+22k+3+2(k+1)+1.n=k+1时,ak+1成立.综上(1)(2),可知an对一切正整数成立.证法二:当n=1时,a1=2=,结论成立.假设n=k时结论成立,即ak.当n=k+1时,由函数f(x)=x+(x1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+.因此只需证+,而这等价于(+)22k+30显然成立.所以当n=k+1时,结论成
7、立.因此,an对一切正整数n均成立.我创新，我超越15.已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145(nN*),(1)求数列bn的通项.(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.分析:本题为数列与数学归纳法的综合题,在比较Sn与logabn+1的大小时,可比较真数的大小,而Sn不能合并起来,可用归纳猜想,再用数学归纳法解答.解:(1)设数列bn的公差为d,由题意,得101+d=145,d=3,bn=3n-2.(2)由bn=3n-2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+
8、loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+),logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1,有(1+1),取n2,有(1+1)(1+)(1+).下面用数学归纳法证明之:当n=1时,已验证不等式成立.假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即(1+1)(1+)(1+),则当n=k+1时,(1+1)(1+)(1+)1+(1+)=(3k+2). (3k+2)3-()3=0.(3k+2)=.因此(1+1)(1+)(1+)1+.这说明,当n=k+1时,不等式也成立.由,知对一切nN*,不等式(1+1)(1+)(1+)都成立
9、.再由对数的性质,可得当a1时,Snlogabn+1;当0a1时,Snlogabn+1.16.设aR,f(x)=是奇函数,(1)求a的值;(2)如果g(n)=(nN*),试比较f(n)与g(n)的大小(nN*).分析:本题为函数与数学归纳法相结合的题目,可归纳猜想证明.解:(1)f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0.故a=1.(2)f(n)-g(n)=.只要比较2n与2n+1的大小.当n=1,2时,f(n)2n+1,f(n)g(n).下面证明n3时,2n2n+1,即f(x)g(x).n=3时,2323+1,显然成立,假设n=k(k3,kN)时,2k2k+1,那么n=k+1时,2k+1=22k2(2k+1),2(2k+1)-2(k+1)+1=4k+2-2k-3=2k-10.(k3)n=k+1时有2k+12(k+1)+1成立.由,可知n3时,2n2n+1.结论n=1,2时,f(n)g(n).