1、第三节三角函数的图象与性质一、教材概念结论性质重现1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)在余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上单调递增；在上单调递减(kZ)在2k，2k上递减；在2k，2k上单调递增(kZ)在(kZ)上单调递增对称中心(k，0)(kZ)(kZ)(kZ)对称轴xk(kZ)xk(kZ)
2、无(1)求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解(2)表示单调区间时，不要忘记kZ.3常用结论(1)若yAsin(x)为偶函数，则有k(kZ)；若yAsin(x)为奇函数，则有k(kZ)(2)若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若yAcos(x)为奇函数，则有k(kZ)(3)若yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)ysin x在第一、第四象限单调递增()(2)由sinsin ，知是正弦函数ysin x(xR)的一个周期()(3)已知y
3、ksin x1，xR，则y的最大值为k1()(4)若sin x，则x()2若函数f (x)cos 2x，则f (x)的一个单调递增区间为()A B C DB解析：由f (x)cos 2x知单调递增区间为，kZ，故只有B满足3函数ytan的定义域为_解析：由3xk(kZ)，得x，kZ.4若函数ysin(2x)(0)是R上的偶函数，则的值是_解析：若函数为偶函数，则k(kZ)因为0，所以.5函数y32sin的最大值为_，此时x_.52k(kZ)解析：函数y32sin的最大值为325，此时x2k(kZ)，即x2k(kZ).考点1三角函数的定义域基础性1函数f (x)的定义域为()A BC DA解析：
4、要使函数f (x)有意义，则 所以(kZ)，即所以x，nZ.所以函数f (x)的定义域为.2函数ylg(2sin x1)的定义域是_，kZ解析：要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx2k，kZ.即函数的定义域为，kZ.求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图象求解考点2三角函数的值域或最值综合性(1)函数y32cos，x的值域为_1,4解析：因为x，所以02x，所以cos1，所以132cos4.所以函数的值域为1,4(2)(2019全国卷)函数f (x)sin3cos x的最小值为_4解析：f (x)sin3cos xcos 2x3co
5、s x2cos2x3cos x1.令cos xt，t1,1，则f (t)2t23t12.易知当t1时，f (t)min2123114.故f (x)的最小值为4.函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的最小值是_1解析：设sin xcos xt，tsin.因为x0，所以x，所以t1，sin xcos x，所以yt(t1)21，当t1时，ymin1.求三角函数的值域(最值)常见的三种类型(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)
6、(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)1当0x时，函数f (x)的最小值是()A B C2 D4D解析：分子、分母同时除以cos2x，得f (x).因为0x，所以0tan x0，函数f (x)sin在上单调递减，则的取值范围是_解析：由x0，得x0，kZ，得k0，所以.本例中，若已知0，函数f (x)cos在上单调递增，则的取值范围是_解析：函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ.又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.已知三角函数的单调区间确定参数的
7、取值范围的步骤首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷1(2020咸阳一模)函数ycos的单调递增区间是()A(kZ)B(kZ)C(kZ)D(kZ)C解析：由2kx2k，得2kx2k.所以函数ycos的单调递增区间是(kZ)2若f (x)cos xsin x在a，a上单调递减，则a的最大值是()A B C DA解析：f (x)cos xsin xsin.当x，即x时，ysin单调递增，则f (x)sin单调递减因为函数f (x)在a，a上单调递减，所以a，a，所以0a.所以a
8、的最大值是.考点4三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合综合性考向1三角函数的周期性和奇偶性(1)(2020浙江卷)函数yxcos xsin x在区间，的图象大致为() ABCDA解析：因为f (x)xcos xsin x，所以f (x)xcos xsin xf (x)，所以函数f (x)为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，可知选项CD错误；当x时，ycos sin 0)两个相邻的极值点，则()A2BC1DA解析：由x1，x2是f (x)sin x的两个相邻的极值点，可得，则T，得2.故选A(3)函数f (x)的最小正周期为()AB CD2C解析：由已知得f (x)sin xcos xsin 2
9、x，所以f (x)的最小正周期为T.(1)已知函数f (x)Asin(x)(A，0)，f (x)为偶函数的充要条件是k(kZ)f (x)为奇函数的充要条件是k(kZ)(2)函数yAsin(x)与yAcos(x)的最小正周期为T，yAtan(x)的最小正周期T.考向2三角函数图象的对称性(1)已知函数f (x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图象()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称B解析：因为函数f (x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f (x)2sin.函数f (x)图象的对称轴为k，解得x2k(kZ)；函数f (x)图象的对称中心的横坐标为
10、k，解得x2k(kZ)故选B(2)(2020全国卷)关于函数f (x)sin x有如下四个命题：f (x)的图象关于y轴对称；f (x)的图象关于原点对称；f (x)的图象关于直线x对称；f (x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_解析：要使函数f (x)sin x有意义，则有sin x0，所以xk，kZ，所以定义域为x|xk，kZ，定义域关于原点对称又因为f (x)sin(x)sin xf (x)，所以f (x)为奇函数所以f (x)的图象关于原点对称所以是假命题，是真命题对于，要说明f (x)的图象关于直线x对称，只需说明f f .因为f sin cos x，f sincos x，所以
11、f f ，所以是真命题令sin xt，1t1且t0，所以g(t)t，1t1且t0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，所以函数的值域为(，22，)，所以函数的最小值不为2，即f (x)的最小值不为2.所以是假命题综上所述，所有真命题的序号是.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，需先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，再把x整体看成一个变量z.若求f (x)Asin(x)(0)图象的对称轴，则只需令zxk(kZ)，解出x；若求f (x)Asin(x)(0)图象的对称中心的横坐标，则只需令zxk(kZ)，解出x.1(多选题)设
12、函数f (x)cos，则()Af (x)的一个周期为2Byf (x)的图象关于直线x对称Cf (x)的一个零点为xDf (x)在上单调递减AB解析：因为f (x)的周期为2k(kZ且k0)，所以f (x)的一个周期为2，A项正确因为f (x)图象的对称轴为直线xk(kZ)，当k3时，对称轴是直线x，B项正确f (x)cos，将x代入，f cos 0，所以x不是f (x)的零点，C项错误因为f (x)cos的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)，所以是单调递减区间，是单调递增区间，D项错误2若函数f (x)2sin是偶函数，则的值为_解析：因为函数f (x)为偶函数，所以k(kZ)又，所以，解得，经检验符合题意3已知函数ytan(x)的最小正周期为，其图象过点(0，)，则图象的对称中心为_(kZ)解析：因为函数ytan(x)的最小正周期T，所以2，即函数ytan(2x)因为函数的图象过点(0，)，所以tan .又|，所以，则函数ytan.令2x(kZ)，解得x，kZ，所以函数图象的对称中心为(kZ)