1、4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离2会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系3会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000思考：用“代数法”与“几
2、何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”1直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A.相交B相切C.相离 D无法判断B圆心(0，0)到直线3x4y50的距离d1. dr，直线与圆相切选B.2设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A.1 BC. D2D直线yx过圆x2y21的圆心C(0，0)，则|AB|2.3圆心在原点上且与直线xy20相切的圆的方程为_x2y22圆的半径就是原
3、点到直线xy20的距离，rd.所以所求圆的方程为x2y22.4直线x2y0被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长等于_4由已知圆心C(3，1)，半径r5.又圆心C到直线l的距离d，则弦长24.直线与圆的位置关系【例1】已知直线方程mxym10，圆的方程x2y24x2y10.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解法一：将直线mxym10代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，(1)当0时，即m0或m时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当0时，即m0或m时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公
4、共点；(3)当0时，即m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为C(2，1)，半径r2.圆心C(2，1)到直线mxym10的距离d.(1)当d0或m2时，即m1，所以点A在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切线方程为xy30，即15x8y360.若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线
5、方程为15x8y360或x4.1本例中若将点“A(4，3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？解因为(23)2(11)21，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y1.2若本例的条件不变，求其切线长解因为圆心C的坐标为(3，1)，设切点为B，则ABC为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB|4，所以切线长为4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程xx0或yy0.(2
6、)点在圆外时：几何法：设切线方程为yy0k(xx0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解直线与圆的相交问题探究问题1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2.【例3】求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得
7、的弦长思路探究：法一：法二：解法一：圆C：x2y22y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0，1)，半径r.点(0，1)到直线l的距离为d，l2，所以截得的弦长为.法二：设直线l与圆C交于A、B两点由得交点A(1，3)，B(2，0)，所以弦AB的长为|AB|.3若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2y22y40截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？解由例题知，圆心C(0，1)，半径r，又弦长为， 所以圆心到直线的距离d.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，可设直线斜率为k，则直线方程为yk(x2)，所以d，解得k3或k，所以直线方程为y3(x2)或y(x2)，即3xy60
8、或x3y20.求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系d2r2解题(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长(3)利用弦长公式，设直线l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l|x1x2|.1本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题难点是解决直线与圆的位置关系2判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的
9、方程组成的方程组解的个数两者相比较，前者较形象、直观，便于运算3与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解1直线3x4y120与圆(x1)2(y1)29的位置关系是()A.过圆心B相切C.相离 D相交但不过圆心D圆心坐标为(1，1)，圆心到直线3x4y120的距离为dr3.又点(1，1)不在直线3x4y120上，所以直线与圆相交且不过圆心选D.2若直线yxa与圆x2y21相切，则a的值为()A.2 BC.1 D1B由题意得1，所以a，故选B.3求过点(1，7)且与圆x2y225相切的直线方程解由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切线方程为y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.