1、专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=-1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,-2),且与点M的轨迹交于A,B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.2.已知椭圆:+y2=1(a1)与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且|AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.(1)求椭圆的离心率;(2)过点D的直线交椭圆于M,N两点,点N与点N关于y轴对称,求证:直线MN过定点,并求该定点坐标.3.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点,与圆C切于点P.(
2、1)当切点P的坐标为时,求直线l及圆C的方程;(2)当a=2时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(aR),已知当a=1时,动圆N过点M且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)当a2时,若直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)(y00),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M,P两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆M:=1(ab0)的焦距为2,离心率为.(1)求椭圆M的方程;(2)若圆N:x2+y2=r2上斜率为k的切线l与椭圆M相交于P,Q两点,OP与OQ能否垂直
3、?若能垂直,请求出相应的r的值;若不能垂直,请说明理由.6.已知椭圆=1(ab0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且AOB的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练24答案1.(1)解 动点M到直线y=-1的距离等于到定点C(0,1)的距离,动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得p=2,动点M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明 由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x2,y2).联立化为x2-4
4、kx+8=0,=16k2-320,解得k或k-.x1+x2=4k,x1x2=8.直线AC的方程为y-y2=-(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-k,化为4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),x1=4k-x2,4y=(x1-x2)x+8,令x=0,则y=2,直线AC恒过一定点(0,2).2.(1)解 由题意得A,B两点关于y轴对称,设xB=,则圆心E到AB的距离为1,yB=,B,代入椭圆方程得=1,解得a2=4,e=.(2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),N(-x2,y2).圆E交y轴负半轴于点D,当直
5、线MN斜率存在时,设其方程为y=kx-消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.x1+x2=,x1x2=,直线MN的方程y-y1=(x-x1),依据椭圆的对称性,若直线MN过定点,定点一定在y轴上,令x=0,y=y1-=-2.当直线MN斜率不存在时,直线MN的方程为x=0,显然过点(0,-2).综上,直线MN过定点(0,-2).3.(1)解 由圆(x-a)2+y2=4,则圆心(a,0),半径为2,将P代入圆方程,解得a=2或a=-,圆的方程为(x-2)2+y2=4或+y2=4,当a=2,圆心C(2,0),则直线CP的斜率k=-,由直线l的斜率为-,则直线l的方程y-,整理得4y-3x-4=0
6、;当a=-,圆心C,则直线CP的斜率k=,由直线l的斜率为-=-,则直线l的方程y-=-,整理得20y+15x-44=0,综上可知,直线l方程为4y-3x-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4,或直线l方程为20y+15x-44=0,圆C的方程为+y2=4;(2)证明 当a=2时,圆C的方程(x-2)2+y2=4,当l垂直于x轴时,则x=4,A(4,4),B(4,-4),|FA|=|FB|=5,|AB|=8,|FA|+|FB|-|AB|=2;当l不垂直于x轴时,设直线l:y=kx+b(k0),直线l与圆C相切,则=2,则4kb+b2=4,结合图象知kb0,x1+x2=-,x1x2=,|A
7、B|=,由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=x1+x2+2,|FA|+|FB|=-+2,|FA|+|FB|-|AB|=-+2-=2,|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为2.4.(1)解 因为圆N与直线x=-1相切,所以点N到直线x=-1的距离等于圆N的半径,所以点N到点M(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.所以点N的轨迹为以点M(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,所以圆心N的轨迹方程,即曲线C的方程为y2=4x.(2)证明 由题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),由得y2-y-kx0+y0=0,又=4x0,所以y2-y-+y
8、0=0.因为直线l与曲线C相切,所以=1-k=0,解得k=.所以直线l的方程为4x-2y0y+=0.动圆M的半径即为点M(a,0)到直线l的距离d=.当动圆M的面积最小时,即d最小,而当a2时,d=2.当且仅当=4a-8,即x0=a-2时取等号,所以当动圆M的面积最小时,a-x0=2,即当动圆M的面积最小时,M,P两点的横坐标之差为定值.5.解 (1)依题意椭圆M:=1(ab0)的焦距为2,离心率为.得c=,e=,可得a=2,则b=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,直线l与圆x2+y2=1相切,=r,即m2=r2(k2+1).由可得(1+4k2)x2+8kmx+
9、4m2-4=0,=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+160,m24k2+1,可得r24.令P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若OP与OQ能垂直,则=x1x2+y1y2=0,(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把代入得(k2+1)(5r2-4)=0,r=,满足r2b0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|OF|,且AOB的面积为,c, ab=,a=2,b=,椭圆方程为=1.(2)假设直线y=2上存在点Q满足题意,设Q(m,2),当m=2时,从点Q所引的两条切线不垂直.当m2时,设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去y,整理得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)2(mk-2)2-4=0,(m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(m2-4)k2-4mk+2=0的两个根,k1k2=-1,解得m=,点Q坐标为(,2)或(-,2).直线y=2上两点(,2),(-,2)满足题意.
