1、第2节基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简
2、记：和定积最大).微点提醒1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.2.ab.3.(a0，b0).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sin x的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()解析(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式成立的条件是a0，b0.(2)函数yx的值域是(，22，)，没有最小值.(3)函数f(x)sin x没有最小值.(4)x0且y0是2的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修5P92练习1T1改编)若
3、x0，y0，且xy18，则的最大值为()A.9 B.18 C.36 D.81解析因为xy18，所以9，当且仅当xy9时，等号成立.答案A3.(必修5P91例3改编)若x0，则x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为2D.有最大值，且最大值为2解析因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.答案D4.(2019合肥一中月考)已知f(x)，则f(x)在上的最小值为()A. B. C.1 D.0解析f(x)x2220，当且仅当x，即x1时取等号.又1，所以f(x)在上的最小值为0.答案D5.(2018济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边
4、靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.答案156.(2018天津卷)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.解析由题设知a3b6，又2a0，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号.故2a的最小值为.答案考点一利用基本不等式求最值多维探究角度1通过配凑法求最值【例11】 (2019乐山一中月考)设0x0，a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mxny10上，且m，n为正数，则的最小值为_.解析曲线ya1x恒过定点A，x1时，
5、y1，A(1，1).将A点代入直线方程mxny10(m0，n0)，可得mn1，(mn)2224，当且仅当且mn1(m0，n0)，即mn时，取得等号.答案4规律方法在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019济南联考)若a0，b0且2ab4，则的最小值为()A.2 B. C.4 D.(2)已知x0，b0，故2ab2(当且仅当2ab时取等号).又因为2a
6、b4，240ab2，故的最小值为(当且仅当a1，b2时等号成立).(2)因为x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.故f(x)4x2的最大值为1.答案(1)B(2)1考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t(h)，y214，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达
7、式是yx，x50，100(或yx，x50，100).(2)yx26，当且仅当x，即x18时等号成立.故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件
8、与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是_万元.解析由题意知t1(1x0得32x(k1)3x20，解得k13x.又3x2(当且仅当3x，即xlog3 时，等号成立).所以k12，即k0)的单调性.易错防范1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019孝感调研)“
9、ab0”是“abb0，可知a2b22ab，充分性成立，由ab0且x1，lg x2B.0时，2D.当0x2时，x无最大值解析对于A，当0x1时，lg x0时，22，当且仅当x1时等号成立；对于D，当01，y1，且lg x，2，lg y成等差数列，则xy有()A.最小值20 B.最小值200C.最大值20 D.最大值200解析由题意得22lg xlg ylg (xy)，所以xy10 000，则xy2200，当且仅当xy100时，等号成立，所以xy有最小值200.答案B4.设a0，若关于x的不等式x5在(1，)上恒成立，则a的最小值为()A.16 B.9 C.4 D.2解析在(1，)上，x(x1)1
10、2121(当且仅当x1时取等号).由题意知215.所以a4.答案C5.(2019九江模拟)若P为圆x2y21上的一个动点，且A(1，0)，B(1，0)，则|PA|PB|的最大值为()A.2 B.2 C.4 D.4解析由题意知APB90，|PA|2|PB|24，2(当且仅当|PA|PB|时取等号)，|PA|PB|2，|PA|PB|的最大值为2.答案B6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件解
11、析设每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由基本不等式得220，当且仅当，即x80时取等号.答案B7.若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.因为，所以，即ab2(当且仅当a2，b2时等号成立)，所以ab的最小值为2.答案C8.(2019衡水中学质检)正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，) B.(，3C.(，6 D.6，)解析因为a0，b0，1，所以ab(ab)1016，当且仅当，即a4，b12时取等号.依题意
12、，16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立.又x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6.答案D二、填空题9.正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析a，b是正数，abab323(当且仅当ab3时等号成立)，解得3，即ab9.答案9，)10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN+)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.解析每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时每台机器为该公司
13、创造的年平均利润最大，最大值为8万元.答案811.(2019合肥调研)设x，y满足约束条件若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为35，则ab的最小值为_.解析可行域如图所示，当直线abxyz(a0，b0)过点B(2，3)时，z取最大值2ab3.于是有2ab335，ab16.所以ab28，当且仅当ab4时等号成立，所以(ab)min8.答案812.已知直线mxny20经过函数g(x)loga x1(a0且a1)的定点，其中mn0，则的最小值为_.解析因为函数g(x)loga x1(a0且a1)的定点(1，1)在直线mxny20上，所以mn20，即1.所以1122，当且仅当，即mn1时取等号
14、，所以的最小值为2.答案2能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018江西师范大学附属中学月考)若向量m(a1，2)，n(4，b)，且mn，a0，b0，则log alog3 有()A.最大值log3 B.最小值log32C.最大值log D.最小值0解析由mn，得mn0，即4(a1)2b0，2ab2，22，ab(当且仅当2ab时，等号成立).又log alog3 log alog blog ablog log3 2，故log alog3 有最小值为log3 2.答案B14.(2019湖南师大附中模拟)已知ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.22解析因为ABC的面积为1，内切圆半径也为1，所以(abc)11，所以abc2，所以222，当且仅当abc，即c22时，等号成立，所以的最小值为22.答案D15.若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号.答案416.已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN+，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.解析对任意xN+，f(x)3，即 3恒成立，即a3.设g(x)x，xN+，则g(x)x4，当x2时等号成立，又g(2)6，g(3)，g(2)g(3)，g(x)min.3，a，故a的取值范围是.答案
