1、2微积分基本定理课后训练案巩固提升A组1.-22 (1+cos x)dx等于()A.B.2C.-2D.+2解析:-22 (1+cos x)dx=(x+sin x)|-22=2+sin2-2+sin-2=+2.答案:D2.若1a 2x+1xdx=3+ln 2(a1),则a的值为()A.2B.3C.4D.6解析:1a 2x+1xdx=(x2+ln x)|1a=a2+ln a-1,a2+ln a-1=3+ln 2,则a=2.答案:A3.若S1= 12 x2dx,S2=12 1xdx,S3=12 exdx,则S1,S2,S3的大小关系是()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2e
2、73ln 2,S2S1S3.答案:B4.设f(x)=x2,x0,1),2-x,x1,2,则02 f(x)dx=()A.34B.45C.56D.65解析:02 f(x)dx=01 x2dx+12 (2-x)dx=13x3|01+2x-12x2|12=56.答案:C5.设函数f(x)=xm+ax的导函数为f(x)=2x+1,则12 f(-x)dx的值等于()A.56B.12C.23D.16解析:f(x)=2x+1,f(x)=x2+x,于是12 f(-x)dx=12 (x2-x)dx=13x3-12x2|12=56.答案:A6.已知一物体自由下落的速度为v=gt,则当t从2 s至3 s时,物体下落的
3、距离为.解析:物体下落的距离s=23 g(t)dt=12gt2|23=12g(32-22)=52g.答案:52g7.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若-11 f(x)dx=2f(a)成立,则a=.解析:-11 f(x)dx=-11 (3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-11=4,2(3a2+2a+1)=4,即3a2+2a-1=0,解得a=-1或a=13.答案:-1或138.已知212 (kx+1)dx4,则实数k的取值范围是.解析:12 (kx+1)dx=12kx2+x|12=32k+1,232k+14.23k2.答案:23k29.计算下列定积分.(1)e 033x+2dx;(2
4、)-22 (2x+cos x)dx;(3)02 (x2-1)dx.解(1)ln(3x+2)=33x+2,e 033x+2dx=ln(3x+2)|e0=ln(3e+2)-ln(30+2)=ln3e+22.(2)(sin x+x2)=cos x+2x,-22 (2x+cos x)dx=(sin x+x2)|-22=sin2+22-sin-2+-22=2.(3)y=|x2-1|=x2-1,1x2,1-x2,0x0,a1,若02 axdx=-2ax|02,则a的值为()A.e-2B.e2C.e-12D.e12解析:02 axdx=1lnaax|02=a2lna-1lna=-2ax|02=-2a2+2,
5、(a2-1)1lna+2=0.又a0且a1,ln a=-12.a=e-12.答案:C2.导学号88184048已知f(x)是一次函数,且01 f(x)dx=5,01 xf(x)dx=176,则f(x)的解析式为()A.4x+3B.3x+4C.-4x+2D.-3x+4解析:设f(x)=ax+b(a0),则01 f(x)dx=01 (ax+b)dx=12ax2+bx|01=12a+b=5.01 xf(x)dx=01 (ax2+bx)dx=13ax3+12bx2|01=13a+12b=176,解方程组12a+b=5,13a+12b=176,得a=4,b=3.故f(x)=4x+3.答案:A3.已知函数
6、f(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0),B12,1,C(1,0),则函数y=xf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形面积为.解析:由已知条件得f(x)=2x,0x12,-2x+2,12x1.则xf(x)=2x2,0x12,-2x2+2x,12x1,故所求面积S=01 xf(x)dx=012 2x2dx+121(-2x2+2x)dx=23x3|012+-23x3+x2|121=23123+-23+1-23123+122=14.答案:144.已知f(x)=ax2+bx+c(a0),且f(-1)=2,f(0)=0,01 f(x)dx=-2,求a,b,c的值.解f(-1)=2,a-b+c=2
7、.又f(x)=2ax+ b,f(0)=b=0.01 f(x)dx=01 (ax2+bx+c)dx=13ax3+12bx2+cx|01=13a+12b+c,13a+12b+c=-2.解方程组a-b+c=2,b=0,13a+12b+c=-2,得a=6,b=0,c=-4.5.导学号88184049如图所示,在区间0,1上给定曲线y=x2,试在此区间内确定t的值,使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.解S1等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t围成的图形的面积,即S1=tt2-0t x2dx=23t3.S2等于曲线y=x2与x轴、x=t及x=1围成的图形的面积去掉一矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=t1 x2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13.所以阴影部分面积S=S1+S2=43t3-t2+13(0t1).令S(t)=4t2-2t=4tt-12=0,得t=12或t=0(舍去).因为当0t12时,S(t)0;当120;所以当t0,12时,S(t)是减少的,当t12,1时,S(t)是增加的.所以当t=12时,Smin=S12=14.
