1、福建省莆田第二十五中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（512=60分）1.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.【详解】因为的否定为，的否定为，所以原命题的否定为：.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.2.已知命题p：xR，x2-x+10命题q：若a2b2，则ab，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判定命题的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定.【详解】
2、命题p：x=0R，使x2-x+10成立 故命题p为真命题； 当a=1，b=-2时，a2b2成立，但ab不成立， 故命题q为假命题， 故命题pq，pq，pq均为假命题； 命题pq为真命题， 故选B【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档3.已知，则“”是“”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,所以0a2;所以“”是“”的必要不充分条件4.已知ABC的周长是16，A（3，0），B（3，0），则动点C的轨迹方程是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据
3、周长得到得到轨迹为椭圆，计算得到答案.【详解】ABC的周长是16，故 故轨迹为椭圆： ，椭圆方程为：故选：【点睛】本题考查了根据椭圆的定义求轨迹方程，忽略掉的情况是容易犯的错误.5.已知双曲线的一个焦点坐标是，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程中的，计算出的值，即可求解出渐近线的方程.【详解】因为双曲线的方程为，所以，又因为焦点坐标为，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为：.故选：B.【点睛】本题考查渐近线的方程求解，难度较易.注意双曲线方程中的等量关系.6.直线 与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
4、】A【解析】【分析】根据直线所过的定点与椭圆的上顶点的关系，利用图示确定出的取值范围.【详解】因为所过定点为，椭圆的上顶点为，如图所示，因为直线与椭圆恒有公共点，所以，又因为表示椭圆，所以且，所以.故选：A. 【点睛】直线与椭圆的交点问题，可从两个方面分析问题：（1）直线与椭圆方程联立，利用所得到的一元二次方程的分析问题；（2）利用直线所过的定点，根据定点与椭圆的关系，进行问题分析.7.如图，空间四边形中，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，再由，得到，求解.【详解】因为，又因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于
5、基础题.8.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A. (1,3)B. (1,)C. (0,3)D. (0,)【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.9.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线，当和同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在轴的椭圆，无符合条
6、件的选项；当和异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，本题选择A选项.10.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交
7、点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.11.已知椭圆，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，得到斜率之间的关系从而转变为之间的等量关系，根据齐次式计算出对应的离心率.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率求解，难度
8、一般.（1）圆锥曲线中的垂直问题，可以转化为直线的斜率关系或者向量的数量积为零；（2）通过构造的齐次式求解离心率是一种常用方法.12.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=，则下列结论中错误的是（ ）A. ACBEB. EF平面ABCDC. 三棱锥A-BEF的体积为定值D. 异面直线AE,BF所成的角为定值【答案】D【解析】【分析】A通过线面的垂直关系可证真假；B根据线面平行可证真假；C根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D根据列举特殊情况可证真假.【详解】A因为，所以平面，又因为平面，所以，故正确；B因为，所以，且平面，平面，所以平面，故
9、正确；C因为为定值，到平面的距离为，所以为定值，故正确；D当，取为，如下图所示：因为，所以异面直线所成角为，且，当，取为，如下图所示：因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.二、填空题（44=16分）13.设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|4，则|PF2|等于_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义，得到，结合已知条件即可计算出的值.【详
10、解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的定义的简单应用，难度较易.注意：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度.14.在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值是 【答案】2【解析】试题分析：抛物线准线为，横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以考点：抛物线方程及性质15.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_【答案】【解析】【分析】根据渐近线与直线平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程.【详解】因为一条渐近线与平行，所以，又因为双曲线的焦点为，且直线过点，所以，所以，所以，所
11、以双曲线的方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据的值求解双曲线的方程，难度一般.当直线过标准形式椭圆或者双曲线的焦点时，此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.16.以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则双曲线与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】分析与的大小关系即可判断轨迹是否为双曲线；根据到两定点距离之和的大小情况判断轨迹是否为椭圆；根据题设要求列出不等式组求解出的范围即可进行判断；计算出
12、椭圆与双曲线的焦点坐标即可判断对错.【详解】当大于时，此时点的轨迹不存在，故错误；当到两定点的距离之和等于常数时（常数为两定点的距离），此时轨迹是两定点连成的线段，故错误；因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以，故正确；双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义辨析、利用方程表示的图形求解参数、焦点坐标的求解，属于综合性问题，难度一般.判断点的轨迹是否为椭圆或双曲线，注意对其中细节的把握.三、解答题（10分+12分5=70分）17.设命题p：实数x满足x24ax3a20，命题q：实数x满足，若a1，且pq为真，求实数x取值范围；【答案】【解析
13、】【分析】根据为真，可知均为真，从而可求解出中的范围，取交集即可得到最终的取值范围.【详解】因为为真，所以均为真命题，且，因为，所以，因为，所以或，所以，又因为，所以当为真时，即的取值范围为.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、根据含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围，对于逻辑关系的转化与计算能力要求较高，难度一般.18.（1）已知向量，分别是直线的方向向量，若，求；（2）已知向量，且与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据直线，得到直线方向向量的共线关系，由此列出方程组求解出的值；（2）根据向量垂直对应的数量积为零，得到关于的方程，求解出的值即可.【详解】
14、（1）因为，所以，所以，所以；（2）因为，且，所以，所以，所以.【点睛】本题考查根据空间向量的平行与垂直关系求解参数，难度较易.已知，若，则有；若，则.19.抛物线，直线过点：（1）当直线与有一个公共点时，求直线方程；（2）若直线过抛物线C的焦点并与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB长度；【答案】（1）或或；（2）.【解析】【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，不存在时直接得到的方程，存在时假设的方程并联立抛物线根据去计算的方程；（2）先求出的方程，联立直线与抛物线方程，并根据弦长公式计算出的长度.【详解】（1）当直线的斜率不存在时，此时，满足要求；当直线的斜率存在时且不为时，设，所以，所以
15、，所以，所以，所以；当直线的斜率存在时且为时，此时，满足条件；综上可知：的方程为或或；（2）因为的焦点为，所以，因为，所以，所以，所以.【点睛】（1）根据直线与圆锥曲线仅有一个交点求解参数时，注意针对直线的斜率是否存在进行分析；（2）常见的弦长公式：，.20.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.（1）证明：BC1平面A1CD；（2）求二面角DA1CE的余弦值【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】（1）记，连接，再利用中位线的相关性质即可证明线面平行；（2）根据位置关系建立空间直角坐标系，根据平面法向量的夹角的余弦值并结合图形，即可计算
16、出二面角的余弦值.【详解】（1）记，连接，如图所示：因为几何体是直三棱柱，所以四边形是矩形，所以为中点，又因为为中点，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为，所以，所以是等腰直角三角形，所以建立空间直角坐标系如下图所示：设，则，所以，所以，设平面一个法向量为，平面一个法向量为，所以，所以，令，所以，又，所以，令，所以，所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中的线面平行的证明、二面角的向量求解，属于综合类型的问题，主要考查学生证明与运算的能力，难度一般.注意：利用向量方法求解二面角时，平面法向量的夹角不一定就是二面角，需要根据具体的立体图形进行判断.
17、21.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，（）求证：CD平面ADD1A1；（）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值.【答案】（）见解析（）1【解析】试题分析：（）取CD的中点为E，连结BE，则ADEB为平行四边形，所以ADBE=4k，所以BC2=BE2+EC2，所以BEDC，所以AD与BC垂直，AA1面ABCD，所以AA1CD，所以CD垂直面AA1D1D；（）以D为原点，DA，DC，DD1为轴，建立空间直角坐标系，写出A、A1，B1，C的坐标，求出面AB1C的一个法向量，算出向量坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列
18、出关于k的方程，若能解出k值.试题解析：（）取CD的中点E，连结BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形， 2分BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD，又BEAD，CDAD. 4分AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD又AA1ADA，ADD1A1. 6分（）以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得. 9分设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1. 12分考点：面面
19、垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力，空间想象能力22.已知椭圆的上顶点为，点，是上且不在轴上的点，直线与交于另一点.若的离心率为，的最大面积等于.（1）求的方程；（2）若直线分别与轴交于点，判断是否为定值.【答案】（1）；（2）为定值.【解析】【分析】（1）先判断出面积最大时的位置，然后根据面积大小结合离心率求解出的值，即可求解出椭圆的方程；（2）设出的直线方程，联立椭圆方程得到坐标的韦达定理形式，表示出直线的方程，求解出的坐标，根据韦达定理形式确定出是否为定值.【详解】（1）当面积最大时，此时在左顶点或右顶点处，所以，所以，所以，所以，所以方程为：；（2）设直线，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.所以为定值.【点睛】本题考查根据椭圆的性质求解椭圆方程以及椭圆中的定值问题，难度较难.（1）求解椭圆方程的常规方法：构造关于的方程组求解出的值即可求解出椭圆方程；（2）椭圆中的定值问题的计算，要注意利用韦达定理将待求结果进行转化，使其更易判断出定值.