1、20092013年高考真题备选题库第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布第9节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布考点一 离散型随机变量及其分布列、期望与方差1（2013广东，5分）已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)()A.B2C. D3解析：本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力E(X)123.答案：A2（2013湖北，5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)()A. B.C. D.解析：本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间
2、想象能力P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)0123，故选B.答案：B5（2013北京，13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解：本题考查统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差
3、等基础知识，意在考查数形结合思想和考生的数据处理能力、运算求解能力设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1,2，13)根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列为X012P故X的期望EX012.(3)从3月5日开始连续三天的空气质
4、量指数方差最大7（2013江西，12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望解：本题将平面向量与概率统计知识相交汇，创新味十足，属能力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种，X0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以
5、小波参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有8种情形；X1时，有10种情形所以X的分布列为：X2101PEX(2)(1)01.8（2011浙江，4分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.解析：P(X0)(1p)2，p，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)()2()2，P(X2)()22(
6、)2，P(X3)()2，因此E(X)123.答案：9(2009广东，5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0，DX1，则a_，b_.X1012Pabc解析：由题意解得a，bc.答案：10（2012新课标全国，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各
7、需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由解：(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nN)(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为EX600.1700.2800.776.X的方差为DX(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.
8、答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为DY(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然EXEY，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)
9、，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，EXEY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花11（2012山东，12分）现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.解：(1)记：“该射手恰好命中一
10、次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)，P(C)P(D)，由于AB CD，根据事件的独立性和互斥性得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)(1)(1)(1)(1)(1)(1).(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X0)P( )1P(B)1P(C)1P(D)(1)(1)(1).P(X1)P(B)P(B)P()P()(1)(1).P(X2)P(CD)P(C)P(D)(1)(1)(1)
11、(1)，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)(1)(1)，P(X4)P(CD)(1)，P(X5)P(BCD).故X的分布列为X012345P所以EX012345.12（2012广东，13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求的数学期望解：(1)由题意得：10x1(0.00630.010.054)100.18，所以x0.018.(2)成绩不低于80分的
12、学生共有(0.0180.006)105012人，其中90分以上(含90分)的共有0.00610503人，的可能值为0,1,2，P(0)，p(1)，P(2)，的分布列为012PE012.13（2012江苏，10分）设为随机变量从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望E()解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(0).(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P()，于是
13、P(1)1P(0)P()1，所以随机变量的分布列是01P()因此E()1.14(2011新课标全国，12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方
14、生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94)，94,102)，102,110的频率分别为
15、0.04,0.54,0.42，因此P(X2)0.04，P(X2)0.54，P(X4)0.42，即X的分布列为X224P0.040.540.42X的数学期望EX20.0420.5440.422.68.15(2010山东，12分)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：(1)每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；(2)每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；(3
16、)每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响求甲同学能进入下一轮的概率；用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望E.解：设A，B，C，D分别为第一、二、三、四个问题用Mi(i1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni(i1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误则Mi与Ni是对立事件(i1,2,3,4)，由题意得P(M1)，P(M2)，P(M3)，P(M4)，所以P(N1)，P(N2)，P(N3)，P(N4).(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则QM1M2M3N1
17、M2M3M4M1N2M3M1M2N3M4N1M2N3M4，由于每题的答题结果相互独立，因此P(Q)P(M1M2M3N1M2M3M4M1N2M3M4M1M2N3M4N1M2N3M4)P(M1M2M3)P(N1M2M3M4)P(M1N2M3M4)P(M1M2N3M4)P(N1M2N3M4)P(M1)P(M2)P(M3)P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)P(N1)P(M2)P(N3)P(M4).(2)由题意，随机变量的可能取值为：2,3,4.由于每题答题结果相互独立，所以P(2)P(N1N2)P(N1)P(N2)，
18、P(3)P(M1M2M3)P(M1N2N3)P(M1)P(M2)P(M3)P(M1)P(N2)P(N3).P(4)1P(2)P(3)1.因此随机变量的分布列为234P所以E234.16(2009安徽，12分)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区B肯定是受A感染的对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)解：随机变量X的分布列是X123PX的均值EX123.附
19、：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：ABCDBACDADBCACBDABCDABCD在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在情形之下，A直接感染了三个人考点二 正态分布1（2013湖北，12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每
20、天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：本题考查正态分布、简单的线性规划等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有800，50，P(700X900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0P(X
21、900)P(X800)P(800X900)P(7002)0.023，则P(22)()A0.477B0.628C0.954 D0.977解析：由题意可知随机变量服从正态分布N(0，2)，所以图象关于y轴对称，又知P(2)0.023，所以P(22)1P(2)P(2)0.954.答案：C3（2012新课标全国，5分）某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_解析：依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为(1)(1).答案：4(2009安徽，5分)若随机变量XN(，2)，则P(X)_.解析：XN(，2)，由正态分布图象可知对称轴x，P(X).答案：
