1、湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三数学下学期六月联考试题 文（含解析）第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合，再由交集运算即可得解.【详解】集合，则，所以由交集运算可得.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题.2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算化简，即可得的虚部.【详解】由复数除法运算化简可得，由复数的概念
2、可知的虚部为3.故选：D.【点睛】本题考查了复数的概念与复数的除法运算，属于基础题.3. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用诱导公式得到，再利用诱导公式计算即可.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟记口诀：“奇变偶不变，符号看象限”为解题的关键，属于简单题.4. 设，是两个不共线的平面向量，已知，若，则（ ）A. 2B. -2C. 6D. -6【答案】D【解析】【分析】根据可知，再根据，代入求解即可.【详解】因为，故，故，因为，是两个不共线的平面向量，故，解得.故选：D【点睛】本题主要考查了向量平行求参数的问题，若，
3、则，属于基础题.5. 记曲线（且）所过的定点为，若点在双曲线：的一条渐近线上，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】易知，则的一条渐近线的斜率，根据公式即可求得结果.【详解】,当时，即，所以定点，则的一条渐近线的斜率，所以双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本小题主要考查曲线恒过定点，考查双曲线的渐近线，双曲线的离心率的求法，属于基础题.6. 某市2015年至2019年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表：年份20152016201720182019年份代号01234年销量10152035若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表
4、中的值为（ ）A. 22B. 25.5C. 28.5D. 30【答案】D【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，即可代入回归方程求得；进而由表中数据求得的值.【详解】因为，代入回归直线方程，可得，结合表中数据可知，解得.故选：D【点睛】本题考查了线性回归方程及其性质的简单应用，属于基础题.7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上
5、可得的标准方程.【详解】由题意可得解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.8. 将函数的图象向下平移1个单位长度.得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件可得，又，函数为奇函数，则的图象关于点对称，排除A，B，根据，可排除C，从而得到答案.【详解】易知，由所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故函数的图象关于点对称，排除A，B；又，排除C.故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数对称性的应用，根据解析式选择函数图象时可根据函数的定义域、值域、单调
6、性、奇偶性（对称性）和特殊点处函数值等进行验证排除.属于中档题.9. 四棱锥的三视图如图所示，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原空间几何体，由几何体可知即为异面直线与所成的角，结合线段关系即可求得的值，进而得异面直线与所成的角的余弦值.【详解】由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面为矩形，平面.因为，所以即为异面直线与所成的角.因为，所以，所以.故选:A.【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的简单应用，异面直线夹角的求法，属于基础题.10. 在周髀算经中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和
7、方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边作正方形，以点或点为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边不少于47.5米，塔顶到点的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：）（ ）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B【解析】【分析】高度和木塔高度之比应为，再根据木塔底层的边不少于47.5米，即可求
8、解.【详解】解：设木塔的高度为，有图可知，（米），同时，（米），即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B符合.故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题.11. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用所给不等式求出的符号从而判断的单调性，由知，分、两类情况求解不等式.【详解】构造函数，则，函数在上单调递减.，解不等式，当时，得，则，因为函数在上单调递减，所以；当时，得，则，因为函数在上单调递减，所以，不合题意，舍
9、去.所以不等式的解集为.故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据题中所给不等式的形式构造新函数是解题的关键，属于中档题.12. 已知函数，有下列四个结论：为偶函数；值域为；在上单调递减；在上恰有8个零点，其中所有正确结论的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义可判断正确，借助二倍角公式将函数化简为利用二次函数性质计算可得错误，利用复合函数的单调性可判断在上单调递减，且，则在上单调递增，根据偶函数性质可得出正确，利用函数与方程的思想解方程即可判断错误.【详解】由，故为偶函数，正确；，记，则，当时，取得最大值2，当时，取9得最小值，即的值域为，所
10、以的值域为，错误；在上的单调性与它在上的单调性刚好相反，当时，单调递增，且，而在时单调递减，故在上单调递减，又此时，故函数在上单调递增，于是得在单调递减，正确；令，得或，而当时，及恰有3个不等的实根，即在区间上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即在区间上恰有6个零点，错误.故正确的是.故选:A.【点睛】本题考查讨论余弦函数的奇偶性、单调性，以及根据已知条件求值域，考查零点问题，函数与方程的思想，属于中档题.第卷二、填空题13. 命题“”的否定为_.【答案】，.【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“”的否定为“”. 故答案为：，.【点睛】本
11、题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.14. 已知为等差数列的前项和，且，则_.【答案】120【解析】【分析】根据等差数列通项公式及前项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前项和公式即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，根据题意得解得，所以.故答案为：120.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前项和公式的简单应用，属于基础题.15. 已知长方体的共顶点的三条棱长度之比为，且其外接球的表面积为，则该长方体的全面积为_.【答案】【解析】【分析】计算出长方体外接球的半径，根据题意设出长方体的三条棱长分别为、，可得出，求得的值，进而可求得该长方体的全面积.【详
12、解】设长方体外接球的半径为，则，设长方体的三条棱长分别为、，于是得，因此，该长方体的全面积为.故答案为：.【点睛】本题考查利用长方体的外接球计算长方体的表面积，同时也考查了利用球体的表面积计算球体的半径，考查计算能力，属于中等题.16. 已知锐角的内角、的对边分别为、，且，则_；若，则的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合可得出关于角的三角等式，进而可求得的值；利用正弦定理以及三角恒等变换思想得出，根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】由及正弦定理，得，即，可得，.又是锐角三角形，解得，由正弦定理得
13、，.故答案为：；.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形边长之和取值范围的计算，考查三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤17. 记为等比数列前项和，且，.（1）求的通项公式；（2）求使得成立的的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列通项公式，设公比为，代入已知条件即可求得首项与公比，进而得的通项公式；（2）由等比数列通项公式，代入即可得的表达式，结合不等式即可试解得最大值.【详解】（1）设的公比为，由已知条件得，解得.故.（2）因为，所以，由，得，即，而，所以，即，所以.【点睛】本
14、题考查了等比数列通项公式及前项和公式的简单应用，属于基础题.18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品
15、，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）（2）平均数为71，中位数为73.33（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得的值；（2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【详解】（1）由，得.（2）平均数为，设中位数为，则，得.故可以估
16、计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为，2个二等品为，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：，.共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.19. 在直三棱柱中，点，分别为棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见
17、解析；（2）【解析】【分析】(1)本题首先可以取的中点并连接、，然后通过证明即可得出四边形是平行四边形以及，最后根据线面平行的相关判定即可得出结果；(2)本题首先可结合题意与图像将三棱锥的体积转化为，然后通过三棱锥的体积公式即可得出结果.【详解】（1）取的中点，连接，则在中，又点是的中点，所以.而且，所以，所以四边形是平行四边形，又平面，平面，所以平面.（2）因为点是的中点，所以，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求法，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则线面平行，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.20. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，过点的直线与
18、交于、两点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与轴的交点为，且，试探究：是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.【答案】（1）；（2）为定值.【解析】【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，进而可求得直线的方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，可知当直线的斜率不存在时不满足题意，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出关于、的表达式，代入韦达定理化简计算可求得的值.【详解】（1）由已知得.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与圆相交，不合乎题
19、意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，解得.综上所述，直线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；当直线与轴不重合时，设直线的方程为，设、.若，则直线与轴平行，不合乎题意，所以.联立，消去并整理得，由韦达定理得，易知，由，得，则，同理可得，所以，所以为定值.【点睛】本题考查直线与圆相切，同时也考查了抛物线中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）求出导数
20、，对、两类进行分类讨论判断导数符号从而确定单调性；（2）设，通过导数判断函数的单调性，证明在上成立即可得证.【详解】（1）.当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增.当时，令，得或.当时，故在R上单调递增.当时，令，得或；令，得，即在上单调递减，在，上单调递增.当时，令，得或；令，得，即在上单调递减，在，上单调递增.（2）设，则，设，则，在上单调递减，又，在内存在唯一的零点，设为.则当时.，单调递增；当时，单调递减，又，在上成立，当时，.【点睛】本题考查分类讨论含参函数的单调区间、利用导数证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22
21、. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）点，分别为曲线，上的动点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）消去参数即可得曲线的普通方程，由极坐标与直角坐标的转化公式即可得曲线的直角坐标方程；（2）由参数方程可设，由两点间距离公式可求得，并求得的最大值，由点和圆的位置关系即可证明结论.【详解】（1）由（为参数）消去，得，即曲线的普通方程为，由得，而，所以曲线的直角坐标方程为.（2）点，分别为曲线，上的动点，设点，则，当时，故，即.不等式得证.【
22、点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，由参数方程求点到圆上距离的最值问题，属于中档题.23. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数的值域为，求的最小值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）可知所求不等式为，然后分、三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得，然后将所求代数式变形为，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）根据题意得原不等式为.当时，则有，解得，此时；当时，则有，解得，此时；当时，则有，解得，此时.综上所述，不等式的解集为或；（2），当且仅当时等号成立，函数的值域为，即.，当且仅当时取等号，因此，的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.