1、第五章 三角函数5.7 三角函数的应用 1了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问 题2实际问题抽象为三角函数模型重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模 型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.1、三角函数可以作为描述现实世界中_现象的一种数学模型.2、是以_为周期的波浪型曲线.提出问题 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述本节通过几个具
2、体实例，说明三角函数模型的简单应用典例解析问题某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位:s）与位移y（单位:mm）之间的对应数据如表5.7.1所示试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式 请你查阅资料，了解振子的运动原理 归纳总结 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（x+ ）,x，）表示，其中A， 描述简谐运动
3、的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T2，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f=1T2给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x+称为相位；x时的相位 称为初相问题如图5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：）随时间t狋（单位：）变化的图象将测得的图象放大，得到图5.7.2（）（）求电流i随时间t变化的函数解析式；（）当t=0,1600, 1150, 7600, 160时，求电流i请你查阅资料，了解交变电流的产生原理
4、 1如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A该质点的运动周期为0.7 s B该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零2与图中曲线对应的函数解析式是()Ay|sin x| Bysin |x|Cysin |x| Dy|si n x|3车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)504sin(0t20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A0,5 B5,10 C10,15 D15,204在电流强度I与时间t
5、的关系IAsin(x)(A0，0)中，要使t在任意秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值A，求正整数的最小值5.某港口的水深y(m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数yAsin tb的图象(1)试根据以上数据，求出yAsin tb的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够
6、安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论参考答案：学习过程 问题1 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（t+ ）来刻画根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A20；振子振动的周期为0.6，即2= 0.6 解得 103；再由初始状态（t）振子的位移为-20，可得sin =，因
7、此 - 2所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin（103t - 2） t，）问题2 由图5.7.2(2)可知，电流最大值为，因此A；电流变化的周期为150，频率为，即2，解得100；再由初始状态（t）的电流约为4.33，可得sin =0.866，因此 约为3所以电流i随时间t变化的函数解析式是: i=5sin（100t+3）,t100，）当t=1600时，i=5; 当t=1150时，i=0; 当t=7600时，i=-5; 当t=160时，i=0;达标检测1 【解析】由题图可知，该质点的振幅为5 cm.【答案】B2【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x(0，)时，
8、sin |x|0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】C3【解析】当10t15时，有5，此时F(t)504sin是增函数，即车流量在增加故应选C.【答案】C4 【解】由题意得：T，即，200，正整数的最小值为629.5. 【解】(1)从拟合曲线可知：函数yAsin tb在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此12，.又当t0时，y10；当t3时，ymax13，b10，A13103，所求函数的表达式为y3sin t10(0t24)(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于74.511.5(m)令y3sin t1011.5，可得sin t，2kt2k(kZ)，12k1t12k5(kZ)取k0，则1t5，取k1，则13t17；而取k2时，25t29(不合题意，舍)从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.