1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A.a+b,b-a,aB.a+b,b-a,bC.a+b,b-a,cD.a+b+c,a+b,c解析由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.答案C2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M,B1D1的中点为N,若以DA,DC,DD1为单位正交基底,则MN的坐标为()A.12,0,12B.12,12,0C.0,12,12D.12,12,12解析MN=DN-DM=DD1+D1N-DD1-D1M=D1N-D1M=12D1B1-1
2、2D1A=12(D1A1+D1C1)-12(D1A1+D1D)=12DA+12DC-12DA+12DD1=0DA+12DC+12DD1,故MN=0,12,12.答案C3.在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=34OG1.
3、则OG=34OG1=34(OA+AG1)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC.答案A4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底AB,AD,AA1下的坐标为(2,1,-3).若分别以DA,DC,DD1的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,则a的空间直角坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)解析a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-9k=(-1,8,-9).答案D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD
4、=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=.解析如图,BE=BB1+B1E=AA1+12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12a+12b+c.答案-12a+12b+c6.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=a+b+c时,+=.解析由已知d=(+)e1+(+)e2+(+)e3,所以+=1,+=2,+=3,故有+=3.答案37.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,点M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则MN的坐标为.解析PA=AD=AB=1,且P
5、A平面ABCD,ADAB,M0,12,0,P(0,0,1),C(-1,1,0),则N-12,12,12.MN=-12,0,12.答案-12,0,128.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.解连接AN,则MN=MA+AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=a+b,MA=-13AC=-13(a+b),又A1D=AD-AA1=b-c,故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b-13(b-c),所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=
6、13(-a+b+c).9.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,点O是AC与BD的交点,PO=1,点M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM.(2)在如图的空间直角坐标系中,求BM的坐标.解(1)BM=BC+CM,BC=AD,CM=12CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD,BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP-12(AB+AD)=-12AB+12AD+12AP=-12a+12b+12c.(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).A(0,0,0),O12,12,0,P12,12,1,c=AP=OP-OA=12,12,1,BM=-12a+12b+12c=-12(1,0,0)+12(0,1,0)+1212,12,1=-14,34,12.
