1、随机事件的概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式1事件的相关概念2频率与概率的关系在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率fn(A)会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等事件若BA，且AB，则称事件A与事件B相等 AB并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或
2、和事件)AB(或AB)交(积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU(U为全集)4概率的基本性质(1)任何事件A的概率都在0,1内，即0P(A)1，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(2)如果事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(3)事件A与它的对立事件的概率满足P(A)P()1.如果事件A1，A2，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1A2An)
3、P(A1)P(A2)P(An)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生()(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶D“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”2容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70
4、)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为()A0.35B0.45C0.55D0.65B由表知10,40)的频数为2349，所以样本数据落在区间10,40)的频率为0.45.3如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是，取到梅花的概率是，则取到红色牌的概率是_P1.4一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n5 5449 60713 52017 190男婴数m2 8834 9706 9948 892这一地区男婴出生的概率约是_(保留四位小数)0.517 3男婴出生的频率依次约是：0.520 0,0.
5、517 3,0.517 3,0.517 3.由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3. 考点一事件关系的判断 判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集1从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：至少有1个白球与至少有1个黄球；至少有1个
6、黄球与都是黄球；恰有1个白球与恰有1个黄球；恰有1个白球与都是黄球其中互斥而不对立的事件共有()A0组B1组 C2组D3组B中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，中的两个事件不是互斥事件中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.2在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是()A至多有一
7、张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡A “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件3口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C) 当取出的两个球中一黄一白时，B与C都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E
8、都发生，不正确；显然A与D是对立事件，正确；CE为必然事件，P(CE)1，正确；P(B)，P(C)，不正确点评：判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系，可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件，然后再借助定义做出判断 考点二随机事件的频率与概率 1.概率与频率的关系频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率典例1某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未
9、售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温/10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数/天216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月
10、份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100.所以，Y的所有可能值为900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于
11、20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.点评：求解本例第(2)问的关键是读懂题设条件，并从中提取信息，明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系1我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石B169石C338石D1 365石B 1 534169(石)2某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的
12、200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据
13、得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 考点三互斥事件与对立事件的概率 复杂事件的概率的两种求法(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便典例2一盒中装有12个球，
14、其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率解(法一)(利用互斥事件求概率)记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，则P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).(法二)(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑
15、球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1A2的对立事件为A3A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因为A1A2A3的对立事件为A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)1.点评：求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来1若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3B0.4 C0.6D0.7B由题意知不用现金支付的概率为10.450.150.4.2某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖
16、券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解(1)P(A)， P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，故1张奖券的中奖概率约为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1，故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.