1、第九节函数模型及其应用学习要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a0)反比例函数模型f(x)=ax+b(a0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)幂函数模型f(
2、x)=axn+b(a,b,n为常数,且a0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随值变化而不同值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxx0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-,-a)和(a,+)上单调递增,在-a,0)和(0,a上单调递减.(2)当x0时,在x=a处取最小值2a;当xf(x)h(x).()(3)函数y=2x的函数值在(0,+)上一定比y=x2的函数值大.()(4)在
3、(0,+)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度.()答案(1)(2)(3)(4) 2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案D3.前两年某商品的价格每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是()A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案A4.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为
4、8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案1 0245.某城市客运公司确定客票价格的方法:如果行程不超过100 km,那么票价是0.5元/km,如果超过100 km,那么超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行程x(km)之间的函数关系式是.答案y=0.5x,0100利用函数模型解决实际问题1.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为了增加
5、销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为了保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案(1)130(2)15解析(1)x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题意得顾客需支付140-10=130元.(2)设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况.根据题意得(m-x)80%m70%,所以xm8,m120,为了保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则xm8min
6、,而m8min=15,所以x15.所以x的最大值为15.2.(2020河北衡水中学调研)为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0x10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求总费用的最小值.解析(1)当x=0时,C(0)=8,k=40,C(x)=403x+5(0x1
7、0),f(x)=6x+20403x+5=6x+8003x+5(0x10).(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+8003x+5-10.令3x+5=t,t5,35,则y=2t+800t-1022t800t-10=70(当且仅当2t=800t,即t=20时,等号成立),此时x=5, f(x)取得最小值,为70.隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.方法技巧利用所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.二次函数、分段函数模型 典例1某自来水厂的蓄水池存
8、有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为1206t(0t24)吨.(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张的现象,则在一天的24小时内约有几个小时出现供水紧张的现象?解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-1206t,0t24,令6t=x,则x2=6t,0x12,即y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,0x12,所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.(
9、2)由(1)及题意得400+10x2-120x80x2-12x+320,解得4x8,即46t8,83t0,解得x2.3,x为整数,3x6,xZ.当x6时,y=50-3(x-6)x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-1150,得3x2-68x+1150,x为整数,6x20,xZ,f(x)=50x-115,3x6,xZ,-3x2+68x-115,6x20,xZ.(2)对于y=50x-115(3x6,xZ),显然当x=6时,ymax=185;对于y=-3x2+68x-115=-3x-3432+8113(6185,当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.方法技巧1
10、.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.2.构造分段函数时,要力求准确、简捷,做到分段合理、不重不漏.3.分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.1.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为1
11、00元.则该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?解析设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80 000=-12x2+300x-80 000=-12(x-300)2-35 000(400x600),因为400x600,所以当x=400时,S取得最大值,为-40 000.故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.2.(2020云南昆明第三中学模拟)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=1600
12、x2+x+150(单位:万元).(1)若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口即完成分拣,经试验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=815m(60-m),1m30,480,m30(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,则引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?解析(1)由总成本p(x)=1600x2+x+150,可得每台机器人的平均成本y=p(x)x=1600x2+x+150x=1600x+150x+121600x15
13、0x+1=2(万元),当且仅当1600x=150x,即x=300时,取等号.所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=815m(60-m),1m30,480,m30.当1m30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m=-160(m-30)2+144 000,所以当m=30时,日平均分拣量取得最大值,为144 000件.当m30时,日平均分拣量为480300=144 000件.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.当传统人工分拣144 000件时,需要的人数为144 000
14、1 200=120.所以日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120-30120=75%.指数函数、对数函数模型典例3某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析(1)由题图,设y=kt,0t1,当t=1时,由y=4得k=4,则y=4t.由121-a=4得a=3.所以y=4t,0t1,12t-3,t1.(
15、2)由y0.25得0t1,4t0.25或t1,12t-30.25,解得116t5,故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时).典例4候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为了赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解析(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m /s,此时耗
16、氧量为30个单位,则a+blog33010=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m /s,则a+blog39010=1,即a+2b=1.联立方程a+b=0,a+2b=1,解得a=-1,b=1.(2)由(1)知,v=a+blog3Q10=-1+log3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v2,所以-1+log3Q102,即log3Q103,解得Q270.所以若这种鸟类为了赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.规律总结构建数学模型解决实际问题时,要正确理解题意,分清条件和结论,理清数量关系,将文字语言转化为数学语言,建立适当的函数模型,求解过程
17、中不要忽略实际问题对变量的限制. 1.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是()A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时答案C由已知得192=eb,48=e22k+b=e22keb,将代入得e22k=14,则e11k=12,当x=33时,y=e33k+b=e33keb=123192=24,所以该食品在33的保鲜时间是24小时.故选C.2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全
18、年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年答案D设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1200,则lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n245,又nN*,nmi
19、n=5,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2021年.故选D.A组基础达标1.下列函数中,随x的增大y的增大速度最快的是() A.y=0.001exB.y=1 000ln xC.y=x1 000D.y=1 0002x答案A2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为() A.3米B.4米C.6米D.12米答案A3.(2020广西柳州高级中学期中)某电视新产品投放市场后第一个月销售量为100台,第二个月销售量为200台,第三个月销售量为400台,第四个月销售量为790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场的月数x之间关系的
20、是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100答案C4.(2020海南嘉积中学调研)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元答案C5.(2020陕西西安中学期中)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票
21、的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案B6.(2020湖南岳阳一中期末)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg 30.48)()A.1033B.1053C.1073D.1093答案DB组能力拔高7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y
22、=10D.x=10,y=14答案A如图,由三角形相似得24-y24-8=x20x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.经检验符合题意.8.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若开始时溶液中含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,该溶液至少过滤次才能达到市场要求.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)答案8解析设该溶液的过滤次数为n,则2%1-13n0.1%,即23n120,所以nlg23-1-lg 2,所以n7.39,所以n=8.9.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v
23、的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为海里/小时时,总费用最小.答案40解析设该轮船每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,当v=10时,k102=6,解得k=0.06,所以该轮船每小时的总费用y=0.06v2+96,因为匀速行驶10海里所用的时间为10v小时,所以总费用W=10vy=10v(0.06v2+96)=0.6v+960v20.6v960v=48,当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.故总费用最小时,轮船的速度为40海里/小时.10.某产品原来的成本为1 00
24、0元/件,售价为1 200元/件,年销售量为1万件,由于市场饱和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级.据市场调查,若投入x万元,每件产品的成本将降低34x元,在售价不变的情况下,年销售量将减少2x万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位:万元).(1)求f(x)的函数解析式;(2)求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的值.解析(1)依题意,产品升级后,每件的成本为1 000-3x4元,利润为200+3x4元,年销售量为1-2x万件,则纯利润f(x)=200+3x41-2x-x=198.5-400x-x4.(2)f(x)=198.5-400x-
25、x4198.5-2400xx4=178.5,当且仅当400x=x4,即x=40时等号成立.所以f(x)取最大值178.5时,x的值为40.C组思维拓展11.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P,种黄瓜的年收入Q与投入资金a(单位:万元)满足P=80+42a,Q=14a+120,设甲大棚的投入资金为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单
26、位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入资金,才能使总收益f(x)最大?解析(1)由题意知甲大棚投入资金50万元,则乙大棚投入资金150万元,故f(50)=80+4250+14150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依题意得x20,200-x20,解得20x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,则t25,65,y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,当t=82,即x=128时, f(x)取得最大值, f(x)max=282.所以甲大棚投入资金128万元,乙大棚投入资金72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.