1、课后限时集训(三十八)等比数列及其前n项和建议用时：40分钟一、选择题1等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24B0 C12D24A由x,3x3,6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24，选A.2已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是()A1BC1或D1或C当q1时，a37，S321，符合题意；当q1时，得q.综上，q的值是1或，故选C.3(多选)设等比数列an的公比为q，则下列说法正确的是()A数列anan1是公比为q2的等比数列B数列anan1是公比为q的等比数列C数列ana
2、n1是公比为q的等比数列D数列是公比为的等比数列AD对于A，由q2(n2)知数列anan1是公比为q2的等比数列；对于B，当q1时，数列anan1的项中有0，不是等比数列；对于C，当q1时，数列anan1的项中有0，不是等比数列；对于D，所以数列是公比为的等比数列故选AD.4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里B12里 C24里D48里B记每天走的
3、路程里数为an，由题意知an是公比为的等比数列，由S6378，得S6378，解得a1192，a519212(里)故选B.5(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2B3 C4D5C令m1，则由amnaman，得an1a1an，即a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n，所以ak1ak2ak10ak(a1a2a10)2k2k1(2101)2152525(2101)，解得k4，故选C.6(2020宝山区一模)已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A若a1a20，则a1a30B若a1a30，则
4、a1a20C若a10，则S2 0210D若a10，则S2 0200CA错误，如数列：1,2，4，.BD错误，如数列1，2,4，.C正确，当q0时，显然S2 0210；当0q1时，及q1时“1q”与“1q2 021”同号，故S2 0210；当q1时，显然S2 0210，故C正确二、填空题7(2020浙江嘉兴模拟)已知Sn是等比数列an的前n项和，且an0，S1a12，S3a322，则公比q_，S5a5_.3202由题意得2a12，a11.由a1a1q2a1q222，得q3或，an0，q不合题意，故q3，S5a5134202.8在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为_5
5、设此等比数列为am，公比为q，则该数列共有n2项14，q1.由等比数列的前n项和公式，得，解得q，an214n21，即n1，解得n3，该数列共有5项9各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n_.30由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.三、解答题10(2020全国卷)设等比数列an满足a1a24，a3a18.
6、(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log3an的前n项和若SmSm1Sm3，求m.解(1)设an的公比为q，则ana1qn1.由已知得解得a11，q3.所以an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知log3ann1.故Sn.由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m60.解得m1(舍去)，m6.11设数列an中，a11，a2，an2an1an，令bnan1an(nN*)(1)证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an2an1an，an2an1(an1an)，而bnan1an，bn1bn，又b1a2a1，bn是首项为，公比为的等比数
7、列(2)由(1)知bnn1n，anan1n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a112n133n.1(多选)(2020山东枣庄期中)将n2个数排成一个如下所示的n行n列的数阵：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m0)已知a112，a13a611，记这n2个数的和为S，则下列结论正确的有()Am3Ba671737Caij(3i1)3j1DSn(3n1)(3n1)ACD由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a112，a13a611，可得a13a1
8、1m22m2，a61a115m25m，所以2m225m1，解得m3或m(舍去)，所以选项A正确；a67a61m6(253)361736，所以选项B不正确；aijai1mj1a11(i1)mmj12(i1)33j1(3i1)3j1，所以选项C正确；S(a11a12a1n)(a21a22a2n)(an1an2ann)(3n1) n(3n1)(3n1)，所以选项D正确故选ACD.2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为_由题意，得正方形的边
9、长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有122n11 023，n10，最小正方形的边长为9.3结构不良试题在b4a3a5；b4b63a33a5；a2a3b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是公比大于0的等比数列，b11，b3b22，b5a42a6，且_，设cn，是否存在实数k，使得对任意的nN*，都有ckcn?解设数列an的公差为d，bn的公比为q(q0)，因为bn是公比大于0的等比数列，且b11，b3b22，所以q2q2，解得q2(q1不合题意，舍去)所以bn
10、2n1.若存在k，使得对任意的nN*，都有ckcn，则cn存在最小值若选，则由b5a42a6，b4a3a5可得解得d1，a11，所以Snn2n，cn.因为nN*，所以n2n2，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.若选，由b5a42a6，b4b63a33a5可得解得d1，a1，所以Snn2n，cn.因为当n20时，cn0，当n21时，cn0，所以易知cn的最小值为c21.即存在k21，使得对任意的nN*，都有ckcn.若选，则由b5a42a6，a2a3b4可得解得d，a1，所以Sn，cn.因为2n226n28，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.1(2020宣城二模)将正整数排成
11、如图所示：试问2 020是表中第_行的第_个数11997由题意得第n行有2n1个数，20222232425262728291 023，20222232425262728292102 047，2 020是表中第11行的第997个数2结构不良试题设Sn为等比数列an的前n项和，已知满足_，求公比q以及aaa.从a2a532且a3a44，a11且S69S3，S2a31且S3a41这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答解若选，则有a2a5a3a432，故有a3a432，a3a44，解得a34，a48，或a38，a44，即q2或q.因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，若q2，a11，此时aaa；或q，a132，此时aaa.若选，8，即q38，故q2.因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以aaa.若选，S2a31(*)，S3a41(*)令(*)式减(*)式，得a3a4a3，即a42a3，故q2.则(*)式中，a1a2a31，即a12a14a11，即a11.因为a是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以aaa.