1、福建省莆田第七中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题一、 单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1 =()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i2已知ABC中,+=2,则-=()A.2 B.C.0D.23.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且a+b=(2,8),则-=()A.5 B.-5 C.1 D.-14.若复数z-2+3i=1-i,则z=()A.3B.4C.5D.65.已知ABC中,D为AB上一点,满足=2,且|=2|,则ABC的形状为( )A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.
2、若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于()A.B.C.-D.-7.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的()A. 必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在三角形ABC中,=2,=2,BAC=45,P为线段AC上任意一点,则的取值范围是()A. B. C. D.二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分9.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的
3、是()A.=B.C.与共线 D.=10已知ab,=2=8,则的值可能为()A.4B.8C.10D.1211.已知复数z=,则下列结论正确的是()A.z的虚部为1B.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=1-i12.已知i为虚数单位,zC,下列命题为真命题的是()A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=3+i,则z=+iD.若z(2+i)=10-5i,则=3-4i三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(a-3i)i=b-i,其中a,bR,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=_.14.已知=b+i(a,bR),其中i为
4、虚数单位,则a-b=_.15.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=.16.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=3,则的模为.2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分 考场： 考号： 班级： 姓名： 座号： 一、二、选择题（共12小题,共60分）题号123456789101112答案三、填空题（共4小题，共20分）13._. 14. _.15._. 16. _.四解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17
5、.(本题满分10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是5+i,向量对应的复数是-3-4i,向量对应的复数是-4+i,求B点对应的复数.18.(本题满分12分)已知两向量a=(2,0),b=(3,2).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.19.(本题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z-ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.20.（本题满分12分）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos C=.(1)若=,求ABC的面积;(2)
6、设向量x=,y=,且xy,求sin(B-A)的值.21.（本题满分12分）已知关于x的方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0(R,xC)(1)若此方程有实数根,求锐角的值;(2)求证:对任意的实数(+k),原方程不可能有纯虚数根.2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷三、 单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1 =(d)A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i2已知ABC中,+=2,则-=(c)A.2 B.C.0D.23.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且a+b=(2,8),则-=(d)A.5 B.-
7、5 C.1 D.-14.若复数z-2+3i=1-i,则z=(c)A.3B.4C.5D.65.已知ABC中,D为AB上一点,满足=2,且|=2|,则ABC的形状为( a)A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于(a)A.B.C.-D.-7.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的(b)A. 必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.在三角形ABC中,=2,=2,BAC=45,P为线段AC
8、上任意一点,则的取值范围是(b)A. B. C. D.四、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得分，部分选对得分，有选错的得分9.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是(abc)A.=B.C.与共线 D.=10已知ab,=2=8,则的值可能为(ad)A.4B.8C.10D.1211.已知复数z=,则下列结论正确的是(acd)A.z的虚部为1B.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=1-i12.已知i为虚数单位,zC,下列命题为真命题的是(ab)A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=
9、4+3iC.若z+|z|=3+i,则z=+iD.若z(2+i)=10-5i,则=3-4i三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若(a-3i)i=b-i,其中a,bR,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=_10_.14.已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a-b=_-3_.15.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=.16.在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=3,则的模为16.2020-2021学年度下学期期中考高中一年数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分
10、 考场： 考号： 班级： 姓名： 座号： 一、二、选择题（共12小题,共60分）题号123456789101112答案三、填空题（共4小题，共20分）13._. 14. _.15._. 16. _.四解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是5+i,向量对应的复数是-3-4i,向量对应的复数是-4+i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-3-4i,向量对应的复数是-4+i,所以表示的复数是(-3-4i)-(-4+i)=1-5i,故=+对应的复数为(5+i)+(1-5i)=5-2i,所
11、以B点对应的复数为6-4i.18.(本题满分12分)已知两向量a=(2,0),b=(3,2).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.【解析】(1)ka-b=(2k,0)-(3,2)=(2k-3,-2),a+2b=(2,0)+(6,4)=(8,4).当ka-b与a+2b共线时,4(2k-3)-(-2)8=0,解得k=-.(2)由已知可得=2a+3b=(4,0)+(9,6)=(13,6),=a+mb=(2,0)+(3m,2m)=(3m+2,2m).因为A,B,C三点共线,所以,所以26m-6(3m+2)=0.解得m=.19.(本
12、题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z-ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z-ai)2=(12-4a-a2)+8(2-a)i,(1)当w为实数时,令2-a=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要2-a0,所以a2.(3)w为纯虚数,只要12-4a-a2=0且a-20,所以a=-6.20.（本题满分12分）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,
13、b,c.已知cos C=.(1)若=,求ABC的面积;(2)设向量x=,y=,且xy,求sin(B-A)的值.【解析】(1)由=,得abcos C=.又因为cos C=,所以ab=.又C为ABC的内角,所以sin C=.所以ABC的面积S=absin C=3.(2)因为xy,所以2sin cos =cos B,即sin B=cos B,因为cos B0,所以tan B=.因为B为三角形的内角,所以B=.所以A+C=,所以A=-C.所以sin(B-A)=sin=sin=sin C-cos C=-=.21.（本题满分12分）已知关于x的方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0(R,xC)(1)若此方程有实数根,求锐角的值;(2)求证:对任意的实数(+k),原方程不可能有纯虚数根.【解析】(1)设xR是方程x2-(tan +i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan -2-i(x+1)=0.所以由得x=-1,代入得tan =1,所以锐角=.(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan +1)i=0.所以(*)因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.