1、第六节对数与对数函数考纲传真1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数 (对应学生用书第18页) 基础知识填充1对数的概念如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫作对数的底数，N叫作真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a1，
2、M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logMnlogaM(m，nR且m0)(2)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0，且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b0，a，b1，N0)；logab，推广logablogbclogcdlogaD3对数函数的图像与性质a10a1图像性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1时，y0(4)当x1时，y0，0x1时，y0(5)当x1时，y0，0x1时，y0(6)是(0，)上的增函数(7)是(0，)上的减函数4. 反函数指数函数
3、yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称知识拓展1换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogaB其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图像与底数大小的比较如图261，作直线y1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数故0cd1aB由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大图261基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)log2x22log2x.()(2)当x1时，logax0.()(3)函数ylg(x3)lg(x3)与ylg(x3)(x3)的定
4、义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)2已知a2，blog2，c，则()AabcBacbCcbaDcabD0a2201，blog2log210，c1，caB3已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图262，则下列结论成立的是()图262Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由图像可知yloga(xc)的图像是由ylogax的图像向左平移c个单位得到的，其中0c1.再根据单调性可知0a1.4(教材改编)若loga1(a0，且a1)，则实数
5、a的取值范围是()AB(1，)C(1，)DC当0a1时，logalogaa1，0a；当a1时，logalogaa1，a1.即实数a的取值范围是(1，)5(2018南昌模拟)计算：2log510log5_，2log43_. 【导学号：00090033】22log510log5log52，因为log43log23log2，所以2log432log2.(对应学生用书第19页)对数的运算(1)设2a5bm，且2，则m等于()AB10C20D100(2)(2018太原模拟)已知log7log3(log2x)0，那么x等于()A BCD(1)A(2)D(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm
6、2logm5logm102，m.(2)由log7log3(log2x)0得log3(log2x)1，即log2x3，所以x8，所以x.规律方法1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算3abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化变式训练1(1)(2017东城区综合练习(二)已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A24B16 C12D8(2)(2015浙江高考)
7、计算：log2_，2log23log43_.(1)A(2)3(1)32log234，f(2log23)f(3log23)23log238324，故选A(2)log2log2log221；2log23log432log232log4332log4332log23.对数函数的图像及应用(1)(2017河南南阳一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图像大致是() A BC D(2)(2017衡水调研)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_(1)B(2)(1，)(1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1
8、，则a1，故函数yloga|x|的大致图像如图所示故选B(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点规律方法1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解变式训练2(1)(2018邵阳模拟)若函数f(x)axkax(a0且a1)在(，)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)loga(xk)的大致图像是()(2)(2018合肥模拟)当0x时，4xlo
9、gax，则a的取值范围是() 【导学号：00090034】A BC(1，)D(，2)(1)B(2)B(1)由题意函数f(x)axkax(a0且a1)在(，)上既是奇函数又是增函数，有f(0)0，即01k，k1，根据增增增，yax是增函数，a1.那么函数g(x)loga(x1)(a1)的图像单调递增，恒过(0,0)，故选B(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图像，可知fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小(1)(2016全国卷)若ab0,0c1，则()AlogaclogbcBlogca
10、logcbCacbcDcacb(2)(2018榆林模拟)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a、b、c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbca(1)B(2)B(1)0c1，当ab1时，logaclogbc，A项错误；0c1，ylogcx在(0，)上是减少的，又ab0，logcalogcb，B项正确；0c1，函数yxc在(0，)上是增加的，又ab0，acbc，C项错误；0c1，ycx在(0，)上是减少的，又ab0，cacb，D项错误(2)因为a60.41，blog0.40.5(0,1)，clog80.40，所以abC角度2解简单的对数不等式(1)(2018哈尔滨模拟)
11、已知函数f(x)，则不等式f(x)5的解集为()A1,1B(，2(0,4)C2,4D(，20,4(2)(2016浙江高考)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0(1)C(2)D(1)由于f(x)，当x0时，3log2x5，即log2x2log24，解得0x4，当x0时，x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x0，不等式f(x)5的解集为2,4，故选C(2)法一：logab1logaa，当a1时，ba1；当0a1时，0ba1.只有D正确法二：取a2，b3，排除A，B，C，故选D角度3探究对数型函数的性质已知函数f(x)log4(ax22x3)(
12、1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：00090035】解(1)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上是增加的，在(1,3)上是减少的又ylog4x在(0，)上是增加的，所以f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，即解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.规律方法利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的
