1、选修 41 几何证明选讲第 1 课时 相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)179181 页)考情分析 考点新知 应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.了解直角三角形的射影定理.1.如图，ABC 中，DEBC,DFAC，AEAC35，DE6，求 BF 的长解：DEBCAEAC6BC35BC10，BF1064.2.如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，若 AD4，DB2，求 DE 与 BC 的长度比解：因为 DEBC，所以DEBCADAB4
2、623.3.如图，在ABC 中，DEBC，EFCD.且 AB2，AD 2，求 AF 的长解：设 AFx，则由ADDBAEECAFDF，22 2x2x，解得 x1.4.如图，四边形 ABCD 中，DFAB，垂足为 F，DF3，AF2FB2，延长 FB 到 E，使 BEFB.连结 BD、EC，若 BDEC，求BCD 和四边形 ABCD 的面积解：SBCDSBDE12BEDF121332，S 四边形 ABCDSADE12AEDF12436.5.如图，平行四边形 ABCD 中，AEEB12，AEF 的面积为 6，求ADF 的面积解：由题意可得AEFCDF，且相似比为 13，由AEF 的面积为 6，得C
3、DF的面积为 54.又 SADFSCDF13，所以 SADF18.1.平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰(2)平行截割定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2.相
4、似三角形(1)相似三角形的判定判定定理a.两角对应相等的两个三角形相似b.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似c.三边对应成比例的两个三角形相似推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积备课札记题型 1 平行线分线段成比例问题例 1 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ADC
5、90，E 是 AB 边的中点，求证：EDEC.证明：如图，过 E 点作 EFBC 交 DC 于点 F.在梯形 ABCD 中，ADBC，ADEFBC.E 是 AB 的中点，F 是 DC 的中点 ADC90，DFE90.EF 是 DC 的垂直平分线，EDEC.备选变式（教师专享）如图，在ABC 中，作直线 DN 平行于中线 AM，设这条直线交边 AB 于点 D，交边CA 的延长线于点 E，交边 BC 于点 N.求证：ADABAEAC.证明：AMEN，ADABNMMB，NMMCAEAC.MBMC，ADABAEAC.题型 2 三角形相似的证明与应用例 2 已知：如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC
6、，ABDC，过点 D 作 AC 的平行线 DE，交 BA 的延长线于点 E.求证：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.证明：(1)四边形 ABCD 是等腰梯形，ACDB.ABDC，BCCB，ABCBCD.(2)ABCBCD，ACBDBC，ABCDCB，ADBC，DACACB，EADABC.EDAC，EDADAC，EDADBC，EADDCB.ADECBD.DEBDAECD，DEDCAEBD.变式训练如图，在矩形 ABCD 中，AB12AD，E 为 AD 的中点，连结 EC，作 EFEC，且 EF交 AB 于 F，连结 FC.设ABBCk，是否存在实数 k，使AEF、ECF、DCE 与BC
7、F 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由解：假设存在实数 k 的值，满足题设 先证明AEFDCEECF.因为 EFEC，所以AEF90DECDCE.而AD90，故AEFDCE.故得CEEFDEAF.又 DEEA，所以CEEFAEAF.又CEFEAF90，所以AEFECF.再证明可以取到实数 k 的值，使AEFBCF，由于AFEBFC90，故不可能有AFEBFC，因此要使AEFBCF，应有AFEBFC，此时，有AEAFBCBF，又 AE12BC，故得 AF12BF13AB.由AEFDCE，可知AEAFCDDE，因此，12BC213AB2，所以AB2BC234，求得 kABBC 32.可
8、以验证，当 k 32 时，这四个三角形都是有一个锐角等于 60的直角三角形，故它们都相似题型 3 射影定理的应用例 3 已知：如图所示，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC 于 F.求证：AEBFABCD3.证明：ACB90，CDAB，CD2ADBD，故 CD4AD2BD2.又在 RtADC 中，DEAC，RtBDC 中，DFBC，AD2AEAC，BD2BFBC.CD4AEBFACBC.ACBCABCD，CD4AEBFABCD，即 AEBFABCD3.备选变式（教师专享）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD，垂足为 E，ABC45，过 E 作
9、AD的垂线交 AD 于 F，交 BC 于 G，过 E 作 AD 的平行线交 AB 于 H.求证：FG2AFDFBGCGAHBH.证明：因为 ACBD，故AED、BEC 都是直角三角形 又 EFAD，EGBC，由射影定理可知 AFDFEF2，BGCGEG2.又 FG2(FEEG)2FE2EG22FEEGAFDFBGCG2FEEG，ABC45，如图，过点 H、A 分别作直线 HM、AN 与 BC 垂直，易知，AH 2FE，BH 2EG，故AHBH2EFEG.所以 FG2AFDFBGCG2FEEGAFDFBGCGAHBH.1.如图，在ABCD 中，BC24，E、F 为 BD 的三等分点，求 BMDN
10、 的值解：E、F 为 BD 的三等分点，四边形为平行四边形，M 为 BC 的中点连 CF 交 AD 于 P，则 P 为 AD 的中点，由BCFDPF 及 M 为 BC 中点知，N 为 DP 的中点，BMDN1266.2.如图，在四边形 ABCD 中，ABCBAD.求证：ABCD.证明：由ABCBAD 得ACBBDA，故 A、B、C、D 四点共圆，从而CABCDB.再由ABCBAD 得CABDBA.因此DBACDB，所以 ABCD.3.如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF 是中位线，BD 交 EF 于 P，已知 EPPF12，AD7 cm，求 BC 的长解：EF 是梯形中位线，得 EFADB
11、C，PEADPE7 BEAB12，PFBCFDCD12.PEPF12,BC2PF14cm.4.如图，已知 A、B、C 三点的坐标分别为(0，1)、(1，0)、(1，0)，P 是线段 AC 上一点，BP 交 AO 于点 D，设三角形 ADP 的面积为 S，点 P 的坐标为(x，y)，求 S 关于 x 的函数表达式解：如图，作 PEy 轴于 E，PFx 轴于 F，则 PEx，PFy.OAOBOC1，ACOFPC45，PFFCy，OFOCFC1y，x1y，即 y1x，BF2y1x.OEFP，BODBFP，ODPF BOBF，即ODy 11x，OD y1x1x1x，AD1OD11x1x 2x1x，SA
12、DP12ADPE12 2x1xx x21x，S x21x(0 x1)1.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2|PB|2|PC|2.解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|BC|4，则|AB|4 2，|CD|12|AB|2 2，|PC|PD|12|CD|2，|PA|PB|AD|2|PD|2（2 2）2（2）210，所以|PA|2|PB|2|PC|21010210.2.如图，在ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE12CD.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF 的面积为 2，求ABCD 的面
13、积(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AC，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.(2)24.3.如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 AD 上一点，且 AE14AD，N 是 AB 的中点，NFCE 于 F，求证：FN2EFFC.证明：连结 NC、NE，设正方形的边长为 a，AE14a，AN12a，NE 54 a.BN12a，BCa，NC 52 a.DE34a，DCa，EC54a.又 NE2 516a2，NC254a2，EC22516a2，且 NE2NC2EC2，ENNC.NFCE，FN2EFFC.4.在梯形 ABCD 中，点 E、F 分别在腰 AB、CD 上，EFAD，AEEBm
14、n.求证：(mn)EFmBCnAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结 AC，交 EF 于点 G.ADEFBC，DFFCAEEBmn，AEAB mmn，CFCDnmn.又 EGBC，FGAD，AEABEGBC mmn，CFCDGFADnmn，EG mmnBC，GFnmnAD.又 EFEGGF，(mn)EFmBCnAD.当 mn1 时，EF12(BCAD)，即表示梯形的中位线比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即abcd(或 abcd)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1)在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位(2)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(3)比例线段是有顺序的，如果说 a 是 b，c，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bcda.请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.备课札记
