1、课堂导学三点剖析各个击破一、求线性回归方程【例1】研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：水深x(m)1.401.501.601.701.801.902.002.10流速y(m/s)1.701.791.881.952.032.102.162.21(1)求y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95 m时水的流速是多少？解：(1)散点图如下图所示.列表计算与回归系数.序号xiyixi2yi2xiyi11.401.701.962.8902.38021.501.792.253.20412.68531.601.882.563.53443.00841.701.952.893.80
2、253.31551.802.033.244.12093.65461.902.103.614.41003.99072.002.164.004.66564.32082.102.214.414.88414.64114.0015.8224.9231.511627.993于是,xi2=24.92,yi2=31.511 6,xiyi=27.993,0.733,=1.977 5-0.7331.75=0.694 8,y对x的回归直线方程为=0.694 8+0.733x.(2)在本题中回归系数=0.733的意思是：在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m水的流速平均增加0.733 m/s, =0.694 8，可以解
3、释为水的流速中不受水深影响的部分，把x=1.95代入得到=0.694 8+0.7331.952.12 m/s，计算结果表明：当水深为1.95 m可以预报渠水的流速约为2.12 m/s.类题演练 1关于人体的脂肪含量（百分比）和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组数据：年龄x23273941454950脂肪y9.517.621.225.927.526.328.2年龄x53545657586061脂肪y29.630.231.430.833.535.234.6(1)作散点图；（2）求y与x之间的回归线方程；（3）给出37岁人的脂肪含量的预测值.解：（1）略（2）设方程为=bx+a,则由计算器算得a=
4、-0.448,b=0.577,所以=0.577x-0.448.（3）当x=37时，=0.57737-0.448=20.90.变式提升从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如下表所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重.解：作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图如右图所示.0.849,=-85.712.回归直线方程为=0.849x-8
5、5.712.所以对于身高172cm女大学生，由回归方程可以预报体重为=0.849172-85.712=60.316(kg).预测身高为172cm的女大学生的体重约为60.316kg.二、非线性回归问题【例2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.5身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）试建立y与x之间的回归方程；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区
6、一名身高为175 cm体重为82 kg的在校男生体重是否正常？解:根据上表中数据画出散点图如下图（1）由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围，于是令z=lny.x60708090100110z1.812.072.302.502.712.86x120130140150160170z3.043.293.443.663.864.01作出散点图如下图所示由表中数据可得z与x之间的回归直线方程：=0.693+0.020x,则有=e0.693+0.020x.（2）当x=175时，预测平均体重=e0.693+0.02017566.22,由于66.221.279.4782,所以这个男生偏
7、胖.类题演练2电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电.由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公u=Aebt(b0)表示.现测得时间t(s)时的电压U（V）如下所示：t:012345678910U:100755540302015101055试求电压U对时间t的回归方程.（提示：对公两边取自然对数，把问题化为线性回归分析问题）.解析：根据提示公式，两边取对数得lnu=lnA+bt令y=lnu,a=lnA,则y=a+bt.由前两组数据得a=ln100，b=ln.y=ln100+lnt.根据上述公式样本点可转换为t012345678910y4.64.34.03.93.42.92.72.32
8、.31.61.6其散点图为由散点图可知y与t线性相关，可用表示,利用科学计算器，可得=-0.3,=4.6,=-0.3t+4.6,即ln=-0.3t+4.6,=100e-0.3t.三、回归分析【例3】某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y（kg）的关系作了统计，得到数据如下：x:15202530354045y:330345365405445450455如果x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32 kg时水稻的产量大约是多少（精确到0.01 kg）.解:用列表的方法计算a与回归系数b.序号xyx2xy1153302254950220345400690
9、03253656259125430405900121505354451225155756404501600180007454552025204752102795700087175,399.3,4.746,=399.3-4.74630=256.92,y对x的回归直线方程为：=256.92+4.746x，当x=32时，=256.92+4.74632408.79答：回归直线方程为=256.92+4.747x，当单位面积化肥用量为32 kg时，水稻的产量大约为408.79 kg.类题演练3为了了解某地母亲身高X与女儿身高Y的相关关系，现随机抽取了10对母女测得相应的身高如下表所示：母亲身高x cm159160160163159女儿身高y cm158159160161161母亲身高x cm154159158159157女儿身高y cm155162157162156（1）画出散点图;（2）对X与Y进行回归分析;（3）预测母亲身高为170 cm时女儿的身高为多少？解：（1）做出散点图如下图（2）作回归分析：从画出的散点图中我们可以看出，X与Y具有线性关系，设回归方程为=bx+a，可求得b=0.78,a=35.2，因此回归直线方程为=0.78x+35.2.(3)预测x=170时，y=0.78170+35.2168 cm.