1、第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4解析z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.答案B2.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1),在第三象限.答案C3.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O
2、,若向量OA,OB对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i解析依题意有CD=BA=OA-OB,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即CD对应的复数为4-2i,故选D.答案D4.复数z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.42D.16解析由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y22x+2y=223=42,当且仅当x=2y=32时,2x+4y取得最小值
3、42.答案C5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是()A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线解析设z=x+yi(x,yR),|z+1|=|x+yi+1|=(x+1)2+y2,|z-i|=|x+yi-i|=x2+(y-1)2,(x+1)2+y2=x2+(y-1)2.x+y=0.z的对应点Z的集合构成的图象是第二、四象限角平分线.答案B6.在复平面内,O是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则BC对应的复数为.解析 BC=OC-OB=OC-(OA+AB),对应的复数为3+2i-(-2+i+1+5i)=(3+2-1)+(2-1
4、-5)i=4-4i.答案4-4i7.设f(z)=z+3-2i,|z|3,2-3i-z,|z|3,则f(f(2i)=.解析因为|2i|=23,所以f(f(2i)=f(2-5i)=2-5i+3-2i=5-7i.答案5-7i8.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析设z=a+bi(a,bR),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,a=0,b+30,又|z|=3,b=3,z=3i.答案3i9.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,bR),且z1-z2=43,求复数z=a+bi.解z1-z2=32a+(a+1)i-33b+(b+2)i=32a+33b
5、+(a-b-1)i,所以32a+33b=43,a-b-1=0,解得a=2,b=1,故z=2+i.10.如图,已知复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A,B,C,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解设正方形的第四个点D对应的复数为x+yi(x,yR),方法一:AD=OD-OA对应的复数为(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,BC=OC-OB对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.因为AD=BC,所以(x-1)+(y-2)i=1-3i,即x-1=1,y-2=-3,解得x=2,y=-1,故点D对应的复
6、数为2-i.方法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心,于是(-2+i)+(x+yi)=0,故x=2,y=-1,故点D对应的复数为2-i.能力提升1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则复数z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i解析由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.答案B2.已知zC,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心
7、,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.答案B3.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(aR),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(aR)为纯虚数,所以a2-a-2=0,a2+a-60,解得a=-1.答案-14.已知实数x,y满足条件x-y+50,x+y0,x3,z=x+yi(i为虚数单位),则|z-1+2i|的最大值与最小值之和为.解析作出不等式组x-y+50,x+y0,x3对应的可行域,如图中阴影部分所
8、示.|z-1+2i|表示可行域中的点到点(1,-2)的距离.根据图象,得最小值为点(1,-2)到直线x+y=0的距离,最大值为点(1,-2)到点(3,8)的距离,即|z-1+2i|min=|1-2|2=22,|z-1+2i|max=(1-3)2+(-2-8)2=226,故|z-1+2i|min+|z-1+2i|max=22+226.答案22+2265.在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.(1)求AB,AC,BC对应的复数;(2)判断ABC的形状.解(1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,所以OA,OB,OC对应的复数分别为1,2+i,-1+2i
9、(O为坐标原点),所以OA=(1,0),OB=(2,1),OC=(-1,2).于是AB=OB-OA=(1,1),AC=OC-OA=(-2,2),BC=OC-OB=(-3,1).即AB对应的复数为1+i,AC对应的复数为-2+2i,BC对应的复数为-3+i.(2)因为|AB|=1+1=2,|AC|=(-2)2+22=8,|BC|=(-3)2+1=10,所以|AB|2+|AC|2=10=|BC|2,又因为|AB|AC|,故ABC是以角A为直角的直角三角形.6.已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=3,求|z1-z2|.解方法一:在复平面内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量OZ1,OZ2,如图,则z1+z2对应向量OZ,z1-z2对应向量Z2Z1.由题意|OZ1|=1,|OZ2|=1,|OZ|=3,可得OZ1Z=120,Z2OZ1=60,在Z2OZ1中,|Z2Z1|=1,即|z1-z2|=1.方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).则由题意,知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.2(ac+bd)=1.|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1+1-1=1,|z1-z2|=1.