1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2(nN*)B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2(nN*)D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2(nN*)解析观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(nN*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首
2、项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案B2.已知不等式1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162()A.95B.115C.116D.136解析观察不等式的左边发现,第n(nN*)个不等式的左边=1+122+132+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162116.答案C3.如图是元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所形成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现
3、出来的图形是()解析观察可知,该五角星对角上的两盏灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,则下一个呈现出来的图形是A中的图形.故选A.答案A4.已知数列an中,a1=1,an+1=2an2+an(nN*),则可归纳猜想an的通项公式为()A.an=2nB.an=2n+1C.an=1nD.an=1n+1解析由已知得a1=1,a2=2a12+a1=23,a3=2a22+a2=432+23=24,a4=2a32+a3=2122+12=25,由此可猜想an=2n+1(nN*).答案B5.设f(x)=1+x1-x,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),则f2 016(2 0
4、16)等于()A.2 016B.-12 016C.-1 0091 008D.1 0081 009解析由已知可得f1(x)=1+x1-x,f2(x)=-1x,f3(x)=x-1x+1,f4(x)=x,f5(x)=1+x1-x,f6(x)=-1x,f7(x)=x-1x+1,f8(x)=x,可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2 016(x)=f5044(x)=f4(x)=x,故f2 016(2 016)=2 016.答案A6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂()A.6
5、(66-1)6-1只B.66只C.63只D.62只解析根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故选B.答案B7.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中,把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似,只是变小了一些而已,谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形,是由波兰数学家谢尔宾斯基在1
6、915年提出的,按照如下规律,依次在一个黑色三角形内去掉小三角形,则当n=6时,该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为()A.81B.121C.364D.1 093解析由题图可知,每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形中小三角形个数的3倍加1,设第n个黑色三角形内去掉小三角形的个数为an,则n=1时,a1=1;n=2时,a2=31+1=4;n=3时,a3=34+1=13;n=4时,a4=313+1=40;n=5时,a5=340+1=121;n=6时,a6=3121+1=364.故选C.答案C8.给出若干个数:2+23,3+38,4+415,5+524,由此可猜测第n(nN*)个数为.解析给出的
7、每个数都是根式,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n个数为n+1+n+1(n+1)2-1.答案n+1+n+1(n+1)2-19.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个
8、,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解(1)选择式计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证法一:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+32sin cos +14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=34.故上式成立.
9、证法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin 32cos+12sin=1+1212cos2+32sin2-cos2-34sin 2-14(1-cos 2)=1-14cos 2-14+14cos 2=1-14=34.故上式成立.10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.解从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,右边为121+1;第2个等式左边有2项,右边为222+1;第3个等式左边有3项,右边为323+1;第4个等式左边有4项,右边为424+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+1(2n)2-1=n2n+1(nN*).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+1(2n)2-1=113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=1211-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=1211-12n+1=n2n+1.