1、新疆乌鲁木齐市第一中学2018-2019学年高二数学上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题：（12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项符合题目要求）1. 下列是全称命题且是真命题的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的概念，以及全称命题真假的判定方法，即可得出结果.【详解】A选项，是全称命题，但时，所以是假命题；B选项，是全称命题，但时，所以是假命题；C选项，是全称命题，且是真命题；D选项，是特称命题；故选：C.【点睛】本题主要考查全称命题以及真假的判定，属于基础题型.2. 已知，若，则与的值可以是（ ）A. 2，B. ，C. 3，2D. 2，
2、2【答案】A【解析】分析】根据条件可得，然后算出即可.【详解】因为，所以，解得或，故选：A【点睛】本题考查的是由空间向量的平行求参数，较简单.3. 下列命题错误的是（ ）A. 命题“ ，”的否定是“，”;B. 若是假命题，则，都是假命题C. 双曲线的焦距为D. 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且【答案】B【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2,所以是真命题.对于选项D, 设，是互不
3、垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.故答案为B【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查复合命题的真假，考查双曲线的简单几何性质和直线平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. “”是“为锐角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】以为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零【详解】解：以为起点的两个向量数量积大于零，夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，在中，“”不能推出“为
4、锐角三角形”，为锐角三角形，前者是后者的必要不充分条件，故选：【点睛】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定5. 已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得答案【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，又由椭圆的方程为，其中，则有，联立可得，则的面积；故选：C【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质6. 若椭圆上一点到
5、两焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为A. B. 或C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，结合椭圆的定义分析可得的值，据此求出、的值，由椭圆的离心率公式计算可得答案【详解】由题意得，即，若，即，则，不合题意，因此，即，则，解得，即，所以椭圆离心率为.故正确答案为A.【点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题.在解决此类问题中，要充分利用椭圆定义应用，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在轴或是轴）进行讨论，从而解决问题
6、.7. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：不妨设，又，.根据对称可得直线的斜率为.选D.考点：直线与抛物线位置关系8. 已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）A. B. C. 2D. -2【答案】A【解析】试题分析：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，故选A.考点：双曲线的方程【方法点晴】本题主要考查了双曲线的方程及点差法，属于中档题.解答本题的关键是根据直线与双曲线相交于两点，即两点在双曲线上，其坐标满足双曲线方程，再由为的中
7、点，据此表示出直线的斜率表达式，根据斜率公式表示出的斜率，即可求得结论.这种方法常称为点差法，往往涉及二次曲线的中点弦时，考虑用这种方法处理.9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由直线的方程，求得，进而得到， ，再利用双曲线的定义，以及双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60，即，双曲线定义有，离心率.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的
8、齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)10. 如图，已知是正的中位线，沿将折成直二面角，则翻折后异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】根据为正三角形，D为中点，所以折叠后 平面BDC，又二面角为直二面角，以D为原点，分别以DB，DC，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求得向量由求解.【详解】因为为正三角形，D为中点，所以折叠后 平面BDC，又二面角为直二面角，所以 ，以D为原点，分别以DB，DC，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正三角形的边长为：2，则 异面直线与所成角 ，故选：A【点睛】本题主要
9、考查空间向量法求异面直线所成角，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11. 如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线【答案】B【解析】【分析】作，即为点到直线的距离，由勾股定理得，由已知，故，即到点的距离等于到的距离【详解】解：如图所示，在正方体中，作，垂足为，则平面，过作，则平面，则为点到直线的距离，由题意得，由已知得，所以，即到点的距离等于到的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B【点睛】此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体
10、现了数形结的数学思想，属于中档题12. 已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进而计算离心率的范围即可.【详解】椭圆C以A，B为焦点，即，故可设椭圆方程为(a1)，联立方程 消去y得(2a21)x26a2x10a2a40，由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，即得或（舍去），解得a，所以，所以e的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，属于中档题.二、填空题（每小题5分，4小题
11、共20分）：13. 动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是_.【答案】【解析】试题分析：设动点，设与直线的切点为，则，即动点到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.考点：抛物线的定义及其标准方程.14. 平面的一个法向量，如果直线平面，则直线l的单位方向向量是_【答案】或【解析】【分析】根据平面的一个法向量，且直线平面，得到，设直线l的单位方向向量是，然后由求解.【详解】因为平面的一个法向量，且直线平面，所以，即，故设直线l的单位方向向量是，所以，即，解得，故或故答案为：或【点睛】本题主要考查空间向量共线定理的应用，属
12、于基础题.15. 如图，在大小为45的二面角中，四边形，都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是_【答案】【解析】【分析】利用空间向量的线性运算以及向量模的求法即可求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的线性运算、空间向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 已知命题，恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由命题为真命题，可知均为真命题，当为真命题可得可求出a的取值范围，当为真命题时，得，从而可求出a的取值范围，【详解】解：因为命题为真命题，所以均为真命题，由得的最小值大于1，即，得，所以当时，为真命题，由命题，使得，
13、可得，所以当时，为真命题，所以综上a的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查由复合命题的真假求参数的范围，考查对数不等式和指数不等式，考查计算能力，属于中档题三、解答题（17题10分，其余每题12分题共70分）：17. 已知空间中三点，设，.（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先写出，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.【详解】（1），设与的夹角为，；（2），且，即：或.【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.18. 已知
14、：方程表示焦点在轴上的椭圆，：双曲线的离心率.（1）若椭圆焦点和双曲线的顶点重合，求实数的值；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出椭圆半焦距的平方，根据题意列方程，解得结果；（2）先分别求出真、真时的取值范围，再求交集的结果.【详解】（1）由，得；（2）据题意有，与同时为真，若真，则，解得，若真时，则，解得，当真、真时，实数的取值范围是【点睛】本题考查根据椭圆方程与双曲线方程求基本量、根据复合命题真假求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19. 如图，正三棱柱的高为，其底面边长为.已知点，分别是棱，的中点，点是棱上靠近的三等分点.求证：
15、（1）平面；（2）平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据平几知识得，再根据线面垂直性质定理得，最后根据线面垂直判定定理得结论.试题解析：（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正三棱柱中，平面，平面，所以，正中，是的中点，所以，又、平面，所以平面，又平面，所以，由题意，所以，又，所以与相似，则，所以 ，则，又，平面，所以平面.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归
16、思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20. 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（）求证：EG平面ADF；（）求二面角OEFC的正弦值；（）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）；（）.【解析】【详解】试题分析：（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法
17、向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.试题解析：依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.（）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.【
18、考点】利用空间向量解决立体几何问题21. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点到其准线的距离为5，过点的直线依次与抛物线及圆交于、四点.（1）求抛物线的方程；（2）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；【答案】（1）；（2）定值，且定值为.【解析】【分析】（1）由题意，设抛物的方程为，根据题中条件，得到，求出，即可得到抛物线方程；（2）先由（1）得，恰好为圆的圆心，设直线的方程为，设，根据抛物线定义，以及题中条件，得到，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，即可得出结果.【详解】（1）由题意，设抛物的方程为，因为抛物线上一点到其准线的距离为5，所以，解得，所以抛
19、物线的方程为；（2）由（1）知，抛物线的焦点为，恰好为圆的圆心，设直线的方程为，设， 因为过点的直线依次与抛物线及圆交于、四点，根据抛物线的定义可得，则，由得，所以，因此，即为定值.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，考查抛物线中的定值问题，属于常考题型.22. 已知椭圆过点，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足求椭圆的标准方程；若，试证明：直线l过定点并求此定点【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程（2）由题意设，设l方程为，由已知条件推导出，由此能证明
20、直线l过定点并能求出此定点【详解】解：椭圆过点，设焦距为2c，长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，又解得椭圆的方程为由题意设，设l方程为，由，知，由题意，同理由知，联立，得，需且有，代入得，直线与轴正半轴和轴分别交于点Q、P，由题意，满足，得方程为，过定点，即为定点【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意向量知识和等价转化思想的合理运用对于椭圆方程的求法，一般都是根据题意建立关于的方程，从而求得椭圆方程，注意焦点位置.而对于直线过定点问题主要有两种思路：（1）可先设出直线方程为，然后利用条件建立的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.- 21 -
