1、3.4定积分1用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限2定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x.当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx.3定积分的运算性质(1)kf(x)dxkf(x)dx (k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx (ac0.()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)，xa，xb以及x
2、轴所围成的图形一定在x轴下方()(4)若f(x)是偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.()(5)若f(x)是奇函数，则f(x)dx0.()(6)曲线yx2与yx所围成的面积是(x2x)dx.()2(2013湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2答案C解析令v(t)0得t4或t(舍去)，汽车行驶距离s(73t)dt(7tt225ln(1t)|282425ln 5425ln 5.3设函数f(x)xmax的导
3、函数f(x)2x1，则f(x)dx的值等于()A. B. C. D.答案A解析由于f(x)xmax的导函数为f(x)2x1，所以f(x)x2x，于是f(x)dx(x2x)dx|.4(2013湖南)若x2dx9，则常数T的值为_答案3解析x2dxx3|T39.T327，T3.5由ycos x及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为_答案解析如图：阴影部分的面积为.题型一定积分的计算例1(1)设f(x)则f(x)dx等于()A. B. C. D不存在(2)若定积分dx，则m等于()A1 B0 C1 D2思维启迪(1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算；(2)利用定积分的几何
4、意义计算答案(1)C(2)A解析(1)如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.(2)根据定积分的几何意义知，定积分dx的值就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，y是一个半径为1的半圆，其面积等于，而dx，即在区间2，m上该函数图象应为个圆，于是得m1，故选A.思维升华(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解(1)设f(x)若f(f(1)1，则a_.(2)sin xdx_.答案(1)1(2)0解析(1)由题意知f(1)lg 10，f(0)0a3031，
5、a1.(2)由于函数ysin x在区间，上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sin xdx0.题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2如图所示，求由抛物线yx24x3及其在点A(0，3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积思维启迪求出两切线交点M的坐标，将积分区间分为两段、.解由题意，知抛物线yx24x3在点A处的切线斜率是k1y|x04，在点B处的切线斜率是k2y|x32.因此，抛物线过点A的切线方程为y4x3，过点B的切线方程为y2x6.设两切线相交于点M，由消去y，得x，即点M的横坐标为.在区间上，曲线y4x3
6、在曲线yx24x3的上方；在区间上，曲线y2x6在曲线yx24x3的上方因此，所求的图形的面积是S(4x3)(x24x3)dx(2x6)(x24x3)dxx2dx (x26x9)dx.思维升华对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)函数yxf(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_答案解析由已知可得f(x)则yxf(x)画出函数图象，如图所示，所求面积S(10x2)dx(10x210x)dx01(5)(5).题型三定积分在物理中
7、的应用例3一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在 s6 s间的运动路程为_思维启迪从题图上可以看出物体在0t1时做加速运动，1t3时做匀速运动，3t6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0t6时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积答案 m解析由题图可知，v(t)，因此该物体在 s6 s间运动的路程为sv(t)dt2tdt2dtdtt2|12t| (m)思维升华定积分在物理方面的应用主要包括：求变速直线运动的路程；求变力所做的功设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，求变力F(x)对质点M所做
8、的功解变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx(x3x)|342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.函数思想、数形结合思想在定积分中的应用典例：(12分)在区间0,1上给定曲线yx2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值思维启迪(1)题目要求是求S1与S2之和最小，所以要先构造SS1S2的函数，利用函数思想求解(2)S1、S2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量规范解答解S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt所围成的面积，即S1tt2x2dxt3.2分S2的面
9、积等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以阴影部分的面积SS1S2t3t2(0t1)6分令S(t)4t22t4t0，得t0或t.8分t0时，S；t时，S；t1时，S.10分所以当t时，S最小，且最小值为.12分温馨提醒(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间.
10、方法与技巧1求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(3)利用定积分的几何意义求定积分2求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和(4)计算定积分失误与防范1被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯
11、形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1(sin xacos x)dx2，则实数a等于()A1 B1 C D.答案A解析a12，a1.2由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B1C. D.答案D解析sin sin.3(2013江西)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1答案B解析利用定积分的几何意义知B正确4图中阴影部分的面积是()A
12、16 B18C20 D22答案B解析Sdy|18.5一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时F(x)做的功为()A. J B. JC. J D2 J答案C解析F(x)cos 30dx(5x2)dx|，F(x)做的功为 J. 二、填空题6(x21)dx_.答案12解析(x21)dx|33312.7如图所示，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是_答案解析由，得x10，x22.S(x22x11)dx(x22x)dx|4.8汽车以v3t2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1
13、s至第2 s间的1 s内经过的路程是_ m.答案6.5解析s(3t2)dt|4410 (m)三、解答题9求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)故所求面积Sdxdx|.10汽车以54 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度3 m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解由题意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t0.解得t5.所以开始刹车5 s后，汽车停车所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为sv(t)dt(153t)dt|37.5(m)故汽车走了37.5 m.B组专项能力提升(时
14、间：25分钟，满分：43分)1设f(x)(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为()A. B. C. D.答案A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知f(x)dxx2dxdxx3|ln x|1.2曲线y与直线yx，x2所围成的图形的面积为_答案ln 2解析Sxdxdxx2|ln x|(ln 2ln 1)ln 2.3作变速直线运动的质点的速度是v(t)(单位m/s)(1)该质点从t10到t30时所经过的路程是_ m；(2)该质点从开始运动到结束运动共经过_ m.答案(1)350(2)1 600解析(1)s1v(t)dttdt20dt350.(2)s2v(t)dttdt20dt(100t)
15、dt1 600.4曲线C：y2x33x22x1，点P(，0)，求过P的切线l与C围成的图形的面积解设切点坐标为(x0，y0)，y6x26x2，则f(x0)6x6x02，切线方程为y(6x6x02)(x)，则y0(6x6x02)(x0)，即2x3x2x01(6x6x02)(x0)，整理得x0(4x6x03)0，解得x00，则切线方程为y2x1.解方程组，得或.由y2x33x22x1与y2x1的图象可知S(2x1)(2x33x22x1)dx(2x33x2)dx.5如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.又由此可得，抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标为x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.