1、椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性
2、对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内(2)点P(x0，y0)在椭圆上(3)点P(x0，y0)在椭圆外2焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形设r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：(1)当r1r2，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)，当|y0|b，即点P的位置
3、为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)ac|PF1|ac.(4)|PF1|aex0，|PF2|aex0.(5)当PF2x轴时，点P的坐标为.(6)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2.4已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.5椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行于对称轴)的中点，则有6弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长设直线l与圆锥曲线C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l斜率为k，则|AB|x1x2|y1y
4、2|.当直线l的斜率不存在时，|AB|y1y2|.一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)关于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10D依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.2若方程1表示椭
5、圆，则k的取值范围是_(3,4)(4,5)由已知得解得3k5且k4.3已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_或设P(xP，yP)，xP0，由题意知|F1F2|2.则SPF1F2|F1F2|yP|1，解得|yP|1.代入椭圆的方程，得1，解得xP，因此点P的坐标为或.第1课时椭圆及其性质 考点一椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|PF2|2a实现等量转换(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三
6、角形的面积等问题典例1(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B1C.1D1(2)如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()AB CD(3)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_(1)D(2)D(3)5(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8
7、，故所求的轨迹方程为1.(2)由题意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，SPF1F2|PF1|PF2|sin 60，故选D.(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|PF2|10，则|PM|PF1|PM|(10|PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10(当且仅当点P，M，F2三点共线时等号成立)又F2(3,0)，则|F2M|5.|PM|PF1|5，即|PM|PF1|的最小值为5.点评：解答本例(3)的关键是差式(|P
8、M|PF1|)转化为和式(|PM|PF2|10)而转化的依据为|PF1|PF2|2a.1已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.1B1C.1D1D由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.2已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_.3法一：设|PF1|r1，|PF2|r2，则 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，
9、所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.法二：PF1PF2，F1PF290，SPF1F2b2tan 459，b29，b3. 考点二求椭圆的标准方程 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤典例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0)，且离心率e，则椭圆的标准方程为_(1)1(2)1(3)1或1(1)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(2)法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a
10、2.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为1.法二：所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，则1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.(3)若焦点在x轴上，由题知a3，因为椭圆的离心率e，所以c，b2，所以椭圆方程是1.若焦点在y轴上，则b3，a2c29，又离心率e，解得a2，所以椭圆方程是1.点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n
11、0，mn)的形式1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为()A.y21B1C.1D1D由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.2(2020通州模拟)设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为_，离心率为_1或1焦点与椭圆的最短距离为ac，a2c
12、，c，a2，b3，椭圆方程为1或1.离心率e. 考点三椭圆的几何性质 1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e求解(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解(3)构造a，c的齐次式离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解椭圆中的基本量a，b，c典例31嫦娥四号月球
13、探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100千米，远月点与月球表面距离为400千米，已知月球的直径约为3 476千米，对该椭圆有四个结论：焦距长约为300千米；长轴长约为3988千米；两焦点坐标约为(150,0)；离心率约为.则上述结论正确的是()AB CDC设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为3 4761 738，ac1001 7381 838，ac4001 7382 138，2a1 8382 1383 976，a1
14、 988，c2 1381 988150，椭圆的离心率约为e，可得结论正确，错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以错误故选C.点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可离心率典例32(1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1B2CD1(2)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_(1)D(2)(1)由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|
15、PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D.(2)若存在点P，则F1BF290(B为短轴端点)，即bca，即b2c2，a2c2c2，a22c2，e1.点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解与椭圆有关的最值(范围问题)典例33(1)(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)(2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B
16、3 C6D8(1)A(2)C(1)由题意知，当M在短轴顶点时，AMB最大如图1，当焦点在x轴，即m3时，a，b，tan tan 60，0m1.图1图2如图2，当焦点在y轴，即m3时，a，b，tan tan 60，m9.综上，m的取值范围(0,19，)，故选A.(2)由题意知，O(0,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2y2x.又1，y23x2，x2x3(x2)22.2x2，当x2时，有最大值6.点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x的有界性解模的思路1(2021全国统一考试模拟演练)椭圆1(m0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若F1AF2，则m()A1 B C D2Ca2m21，b2m2，则c2a2b21，由题意bc，则b23c23m2，又m0，则m.2(2020攀枝花模拟)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为()AB C1D1B由题意，F1(c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，c)，将点P坐标代入1可得：1，整理得4c48a2c2a40，所以4e48e210，因0e1，故e.
