1、第七章推理与证明第2课时直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)9596页)考情分析考点新知了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.1. 已知向量m(1，1)与向量n(x，22x)垂直，则x_答案：2解析：mnx(22x)2x. mn， mn0，即x2.2. 用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应为_答案：或解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即或解析：由分析法可得，要证2，只需证2，即证132134，
2、即2.因为4240，所以2成立4. 定义集合运算：ABZ|Zxy，xA，yB，设集合A1，0，1，Bsin，cos，则集合AB的所有元素之和为_答案：0解析：依题意知k，kZ.k(kZ)时，B，AB；2k或2k(kZ)时，B0，1，AB0，1，1；2k或2k(kZ)时，B0，1，AB0，1，1；且k(kZ)时，Bsin，cos，AB0，sin，cos，sin，cos综上可知AB中的所有元素之和为0.5. (选修12P44练习题4改编)设a、b为两个正数，且ab1，则使得恒成立的的取值范围是_答案：(，4解析： ab1，且a、b为两个正数， (ab)2224.要使得恒成立，只要4.1. 直接证明
3、(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法(2) 一般形式ABC本题结论(3) 综合法 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法称为综合法 推证过程(4) 分析法 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法称为分析法 推证过程2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有反证法、正难则反等(2) 反证法的基本步骤 反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真 归谬从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果 存真由矛盾结果，断定反设
4、不真，从而肯定原结论成立备课札记题型1直接证明(综合法和分析法)例1数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3，)，证明：(1) 数列是等比数列；(2) Sn14an.证明：(1) an1Sn1Sn，an1Sn(n1，2，3，)， (n2)Snn(Sn1Sn)，整理得nSn12(n1)Sn， 2，即2， 数列是等比数列(2) 由(1)知：4(n2)，于是Sn14(n1)4an(n2)又a23S13， S2a1a2134a1， 对一切nN*，都有Sn14an.例2设a、b、c均为大于1的正数，且ab10，求证：logaclogbc4lgc.证明：(分析法)由于a1，b1，c
5、1，故要证明logaclogbc4lgc，只要证明4lgc，即4，因为ab10，故lgalgb1.只要证明4，由于a1，b1，故lga0，lgb0，所以0lgalgb22，即4成立所以原不等式成立设首项为a1的正项数列an的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n、m，SnmSmqmSn总成立求证：数列an是等比数列证明：因为对任意正整数n、m，SnmSmqmSn总成立，令nm1，得S2S1qS1，则a2qa1.令m1，得Sn1S1qSn， 从而Sn2S1qSn1，得an2qan1(n1)，综上得an1qan(n1)，所以数列an是等比数列题型2间接证明(反证法)例3证明：，不能为同一
6、等差数列中的三项证明：假设，为同一等差数列的三项，则存在整数m、n满足nm得nm(nm)，两边平方得3n25m22mn2(nm)2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数，故假设不正确，即，不能为同一等差数列的三项已知下列三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，其中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围解：若方程没有一个实数根，则解之得a1.故三个方程至少有一个方程有实数根的a的取值范围是.1. 用反证法证明命题“ab(a、bZ)是偶数，那么a、b中至少有一个是偶数”那么反设的内容是_答案：假设a、b都是奇数(a、b都不是偶数)解析：用反证法证明命题时反设的
7、内容是否定结论2. 已知a、b、c(0，)且ac，bc，1，若以a、b、c为三边构造三角形，则c的取值范围是_答案：(10，16)解析：要以a、b、c为三边构造三角形，需要满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而ac，bc恒成立而ab(ab)1016， c， 10， 10c2ab，a2bab22ab.因为|a3b32ab|a2bab22ab|(ab)(ab)20，所以|a3b32ab|a2bab22ab|，即a3b3比a2bab2远离2ab.1. 已知abc，且abc0，求证：a.证明：要证a，只需证b2ac3a2. abc0， 只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0
8、，只需证(ab)(ac)0. abc， ab0，ac0， (ab)(ac)0显然成立故原不等式成立2. 已知等差数列an的首项a10，公差d0，前n项和为Sn，且mn2p(m、n、pN*)，求证：SnSm2Sp.证明：m2n22mn，2(m2n2)(mn)2.又mn2p，m2n22p2.3. 如图，ABCD为直角梯形，BCDCDA90，AD2BC2CD，P为平面ABCD外一点，且PBBD.(1) 求证：PABD；(2) 若PC与CD不垂直，求证：PAPD.证明：(1) 因为ABCD为直角梯形，ADABBD，所以AD2AB2BD2，因此ABBD.又PBBD，ABPBB，AB，PB平面PAB，所以
9、BD平面PAB，又PA平面PAB，所以PABD.(2) 假设PAPD，取AD中点N，连结PN、BN，则PNAD，BNAD，且PNBNN，所以AD平面PNB，得PBAD.又PBBD，且ADBDD，得PB平面ABCD，所以PBCD.又因为BCCD，且PBBCB，所以CD平面PBC，所以CDPC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，所以PAPD.4. 已知f(x)ax(a1)(1) 证明f(x)在(1，)上为增函数；(2) 用反证法证明方程f(x)0没有负数根证明：(1) 设1x1x2，则x2x10，ax2x11，ax10，x110，x210，从而f(x2)f(x1)ax2ax1ax1(ax2x11)0
10、，所以f(x)在(1，)上为增函数(2) 设存在x00(x01)使f(x0)0，则ax0.由0ax0101，即x02，此与x00矛盾，故x0不存在1. 分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来2. 反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法适宜用反证法证明的数学命题：结论本身是以否定形式出现的一类命题；关于唯一性、存在性的命题；结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题备课札记