1、利用导数解决函数的极值、最值问题考试要求1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f(x0)0，极值点是f(x)0的根，但f(x)0的根不都是极值点(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值
2、点)(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极值点是函数在区间内部的点，不会是端点2函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b上一定有最值2若函数f(x)在a，b上是具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数f(x)在区间
3、(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(3)函数的极大值一定是函数的最大值()(4)开区间上的单调连续函数无最值()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点C设f(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4
4、.当xx1时，f(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选C.2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点Df(x)(x0)，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，所以x2为f(x)的极小值点3函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为_1f(x)1，令f(x)0得x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0.当x1时，f(x)取得最大值，且f(x)maxf(1)ln 1
5、11.4函数f(x)x312x的极小值为_，极大值为_1616f(x)3x212，令f(x)0，即3x2120，解得x2，当x2时，f(x)0，当2x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，因此x2是极大值点，x2是极小值点，f(x)极大f(2)(2)312(2)16，f(x)极小f(2)2312216. 考点一利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程根据函数图象求值问题典例11函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，则xx等于()AB CDC因为函数f(x)的图象过原点，所以d0.又f(1)0且f(2)0，即1bc0且84b2c0，解得b1，c2，所以函数f(x
6、)x3x22x，所以f(x)3x22x2.由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f(x)0的两个根，所以x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x2，故选C.点评：可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号求已知函数的极值典例12已知函数f(x)(x2)(exax)，当a0时，讨论f(x)的极值情况解f(x)(exax)(x2)(exa)(x1)(ex2a)，由f(x)0得x1或xln 2a(a0)当a时，f(x)(x1)(exe)0，f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值当0a时，ln 2a1，当x变
7、化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(ln 2a)a(ln 2a2)2，极小值f(1)ae.当a时，ln 2a1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，ln 2a)ln 2a(ln 2a，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(1)ae，极小值f(ln 2a)a(ln 2a2)2.综上，当0a时，f(x)有极大值a(ln 2a2)2，极小值ae；当a时，f(x)无极值；当a时，f(x)有极大值ae，极小值a(ln 2a2)2.点评：求极值
8、时，要注意f(x)0的根是否在定义域内已知函数极值求参数的值或范围典例13(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围(1)7由题意，得f(x)3x26axb，则解得或经检验，当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)解由f(x)ax2(3a1)x3a2ex，得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0,1)时，ax1
9、x10，所以f(x)0.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)点评：已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性1已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值，则实数c的值为()A6B2 C2或6D0B由f(2)0可得c2或6.当c2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x2处取得极小值；当c6时，结合图象(图略)可知，函数在x2处取得极大值故选B.2已知三次函数f(x)ax3bx2cxd的图象
10、如图所示，则_.1f(x)3ax22bxc，由图象知，方程f(x)0的两根为1和2，则有即1.3(2019江苏高考节选)设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数，若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3,1,3中，求f(x)的极小值解因为bc，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.因为a，b，都在集合3,1,3中，且ab，所以1，a3，b3.此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x3或x1.列表如下：x(，3)3(3,1)1(
11、1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232. 考点二利用导数求函数的最值 1求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值典例2(2020青岛模拟)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲
12、线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x，有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.点评：当导函数yf(x)无法判断正负时，可令g(x)f(x)再求g(x)，先判断g(x)f(x)的单调性，再根据单调性确定yf(x)的正负号已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1
13、,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当01，即a1时，函数f(x)在区间1,2上单调递减，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上单调递增，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减又f(2)f
14、(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 考点三利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题，结合实际问题作答典例3(2020江苏高考)某
15、地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上)经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2b36b.已知点B到OO的距离为40米(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k0)，问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1
16、，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足由条件知，当OB40时，BB1403640160，则AA1160.由OA2160，得OA80.所以ABOAOB8040120(米)(2)以O为原点，OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)设F(x，y2)，x(0,40)，则y2x36x，EF160y2160x36x.因为CE80，所以OC80x.设D(x80，y1)，则y1(80x)2，所以CD160y1160(80x)2x24x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)kkk(0x40)f(x)kx(x20)，令f(x)0，得x20.x(0,20)20(20,
17、40)f(x)0f(x)极小值所以当x20时，f(x)取得最小值答：(1)桥AB的长度为120米；(2)当OE为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低点评：实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知x(0x24)小时内供水总量为10千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会
18、出现紧张现象(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水a(a2)千吨，求a的最小值，使得供水紧张现象消除解(1)设x小时后的蓄水池水量为y千吨，则y152x10(0x24)，当供水出现紧张现象时，y3，即152x103，解得：23，4x9.一天内将在4点到9点时间段内出现供水紧张现象(2)设x小时后的水池蓄水量关于x的函数为f(x)，则f(x)15ax10(0x24)，若无供水紧张现象，则f(x)3在0,24上恒成立，a在(0,24上恒成立，设g(x)(0x24)，则g(x)，当0x时，g(x)0，当x24时，g(x)0，g(x)在上单调递增，在上单调递减，当x时，g(x)取得最大值g.a的最小值为.