1、包头市第三十三中学2013-2014学年度第一学期试卷高三年级期中（）理科数学命题人：周环在 审题：教科室 2013-11-14一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1复数 z 满足 z(1 + i) = 1 - 2i （ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内所对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C.第三象限 D第四象限【答案】C【KS5U解析】因为z(1 + i) = 1 - 2i，所以，所以复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限。2设全集U=R，则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A B C. D【答案】B【KS
2、5U解析】所以右图中阴影部分表示的集合为。3. 已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:若,则;若,且则;若,则;若,且,则.其中正确命题的个数是（）A1B2C3 D4【答案】B【KS5U解析】若,则错误，可能平行、相交或异面；若,且则正确；若,则正确;若,且,则错误，也可能相交.4. 定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示， 则的增区间是（ ）A B C D【答案】A【KS5U解析】由图可知：恒成立且不恒为0；恒成立。所以的增区间是。5. 已知数列满足,则的前10项和等于（ ）A B。 C. D【答案】C【KS5U解析】因为，所以，所以数列是公比为的等比数列，所以的前10
3、项和等于。6. 若等差数列满足，则的值是 （ ）A20 B24 C. 36 D72【答案】B【KS5U解析】因为，因为，所以。7. 外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于 ( )A B C. D【答案】C【KS5U解析】因为，所以O为边BC的中点，且，又，所以，所以=3.8. 若函数又且的最小值为则正数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【KS5U解析】因为且的最小值为所以T=3，所以正数。9.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）A B C. D.【答案】B【KS5U解析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD底面ABCD，PD=2，底面ABCD是
4、一个直角梯形，ADBC，ADDC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5所以最长的一条侧棱PB，其长度是 10.已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项使得的最小值为 （）A B C. D9【答案】A【KS5U解析】因为，所以，由得：，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为。11设满足约束条件，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【KS5U解析】画出约束条件，的几何意义为过点的直线的斜率，所以结合可行域知：过点(0,4)时取最大值5；当点在y=x线上时，取最小值1，所以的取值范围是。12. 已知函数,若|,则的取值范围是（ ）A B. C. D【答案】D【KS5U解析】因为|=，所
5、以由|得，且；由可得，则-2，排除，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）13.已知向量，则_ _.【答案】5【KS5U解析】，所以5.14.曲线在点处的切线经过点,则 【答案】2【KS5U解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线，把点代入得。15.已知函数对任意的恒成立，则 .【答案】【KS5U解析】易知函数是奇函数，且在其定义域内为单调递增，所以由得：，即在时恒成立，令，则只需满足，解得。16. 下列几个命题： 不等式的解集为； 已知 均为正数，且，则的最小值为9； 已知，则的最大值为； 已知均为正数，且，则的最小值为
6、7；其中正确的有 （以序号作答）【答案】【KS5U解析】 由得：，所以不等式的解集为； 已知 均为正数，且，则，所以的最小值为9； 已知，则，当且仅当时取等号，但无解，所以取不到最大值； 已知均为正数，且，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为7；三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17. （本题满分10分） 等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.18. （本题满分12分）已知分别在射线（不含端点）上运动，在中，角、所对的边分别是、 （）若、依次成等差数列，且公差为2求的值； （）若，试用表示的周长，并求周长的最大值19. （本题满分12分） 某工厂某种产品的年固定成本为250
7、万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为500元.通过市场分析，该厂生产的商品能全 部售完.（）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20（本题满分12分）如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.求证:(1)平面平面;(2)直线平面. 21. （本题满分12分）数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.22. （本题满分12分）已知函数（1）求函数单调递增
8、区间；（2）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围包头市第三十三中学2013-2014学年度第一学期试卷高三年级期中（）理科数学参考答案一、CBBAC BCBBA AD二、13 ：5 14：2； 15： 16: 三、17.18. 解（）、成等差，且公差为2，、. 又， ， 恒等变形得 ，解得或.又，. 6分（）在中， ，. 的周长 ，10分又，, 当即时，取得最大值 12分 19.为1000万元. -12分20. 证明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面. (2),为的中点,. 又平面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直线平面 21. （1）是和的等差中项， 当时， 当时， ，即 3分数列是以为首项，为公比的等比数列， 5分设的公差为， 6分（2） 7分 9分, 10分数列是一个递增数列 . 综上所述， 22. 解： ，所以在上是增函数， 2分又，所以不等式的解集为，故函数的单调增区间为6分因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可 又因为，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值因为，令，因为，所以在上是增函数而，故当时，即；所以，当时，即，函数在上是增函数，解得； 。12分