1、6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算(教师独具内容)课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义.教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算.教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.知识点一数乘向量(1)定义：给定一个实数与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作a.(2)方向当0且a0时，a的模为|a|，而且a的方向如下：a当0时，与a的方向相同；b当1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(1)上伸长到|a|的|
2、倍；()当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短到|a|的|倍(3)对数乘向量的运算律的两点说明数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的与都是实数实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算(4)单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a|a|a0或a0.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量可以进行加减运算()(2)a的方向与a的方向一致()(3)a的单位向量a0与a方向相反()(4)对于任意实数m和向量a，b，若mamb，则ab.()答案(1)(2)(3)(4
3、)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)2(3a4b)_.(2)若ae，be，则a_b.(3)若|a|3，b与a方向相反，且|b|6，则b_a.答案(1)6a8b(2)2(3)2题型一 数乘向量例1设a是非零向量，是非零实数，则下列结论正确的是()Aa与a的方向相反B|a|a|Ca与2a的方向相同D|a|a解析当0时，a与a的方向相反，因此A不正确；当|1时，|a|a|0，所以a与2a的方向相同，故C正确；|a|是实数，|a是向量，不可能相等，故D不正确故选C.答案C(1)是实数，a是向量，它们的积仍然是向量，的符号与a的方向有关，的大小与a的模有关(2)若a0，则0或a0.(3)实数与向
4、量可以求积，但是不能进行加减运算如果c是非零向量，且a2c,3bc，那么a，b的关系是()A相等 B共线C不共线 D不能确定答案B解析a2c,3bc且c为非零向量，a6b，a与b共线且方向相反.题型二 数乘向量的简单应用例2若，则实数的值为()A. BC. D解析，如图结合图形可知.答案B解决有关数乘向量的问题关键要确定两个相关向量它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积之比是()A13 B12 C23 D34答案B解析作出图形如图所示2，P为边AC上靠近A点的
5、三等分点又PAB与PBC的底边长之比为|12，且高相等，PAB与PBC的面积之比为12.题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算例3计算下列各式并填写结果：(1)4a2(ab)4b_；(2)2(3a2b)3(a5b)5(a4b)_.解析(1)原式2a2a2b4b4a6b.(2)原式6a4b3a15b5a20b(635)a(41520)b14a39b.答案(1)4a6b(2)14a39b(1)数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都是向量，但运算次序不同(2)数乘向量的运算律要注意，均为实数，不可以是向量(3)数乘有两个分配律(aa()a可称为第一分配律，(a
6、b)ab可称为第二分配律)，实数的乘法只有一个分配律设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，那么与()A相等 B模相等C同向平行 D反向平行答案D解析易得，所以()，故与反向平行.题型四 向量的线性运算例4(1)化简：3a6a2b4(2a3b)(a8b)；(2)把满足5x6ya，4x5yb的向量x，y用a，b表示出来解(1)3a6a2b4(2a3b)(a8b)3a(6a2b8a12b)(a8b)(3681)a(2128)b6a2b.(2)由已知得45得y4a5b，56得x5a6b，所以x5a6b，y4a5b.1.线性运算形式(1)几何运算三角形法则；平行四边形法则；
7、(2)代数运算向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用2数乘向量满足的运算律(1)()a(a)(2)()aaa.(3)(ab)ab(，为实数)化简：.解原式ab.题型五 利用向量数乘运算表示相关向量例5如图所示，已知平面内的两点P与Q关于点A对称，Q与R关于点B对称，且a，b，用a，b表示.解解法一：分别连接AB，OR，OP，如右图所示，已知P与Q两点关于A点对称，所以()所以22a.又Q与R两点关于B点对称，所以()所以22b.所以(2b)(2a)所以2b2a.解法二：，所以2()2b2a.解法三：在PQ
8、R中，因为A与B分别为边PQ和QR的中点，所以.所以22()2b2a.用已知向量表示未知向量的求解思路如图所示，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形，且BMBC，CNCD，试用a，b表示 ，.解ab，ab，所以babab.又因为ab，CC，所以ab，所以ab.题型六例6已知非零向量e1和e2不共线，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：A，B，D三点共线证明可以通过证明向量，共线来证明A，B，D三点共线2e13e26e123e24e18e26(2e13e2)6，向量与共线又向量与有共同的起点A，故A，B，D三点共线解决三点共线问题的思路先将三点共线问题转化为两个向量共
9、线，再利用结论：“如果存在实数，使得ba，则ba”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)(R，0，且1)(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数的取值范围解(1)证明：(1)，(R，0，且1)又AM与AB有公共点A，故A，B，M三点共线(2)由(1)知，若点B在线段AM上，则与同向，且|0，故1.1点C是线段AB的中点，那么()A2 B0 C1 D2答案D解析因为点C是线段AB的中点，所以，所以2，即2.2下列说法正确的为()A任意两个单位向量都相等B与a同向的单位向量是C2019 cm长的有向线段不可能表示单位向量D
10、所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆答案D解析A错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；B错误，若a0，则没有相应的单位向量；C错误，一个单位长度取2019 cm时，2019 cm长的有向线段恰好表示单位向量；D显然正确3化简2(2a8b)4(4a2b)，其最简式为()A2ab B2ba Cab Dba答案B解析原式(2244)a(2842)ba2b.4下列计算正确的个数是()(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A0 B1 C2 D3答案C解析正确，错误，向量线性运算的结果依然是向量，即(a2b)(2ba)0.5已知在四边形ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则向量_.答案3a3b5c解析在四边形ABCD中取AD的中点M，连接ME，MF，所以ME为ACD的中位线，MF为DAB的中位线，故()(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.6已知平行四边形OACB中，BDBC，OD与BA相交于点E，用向量法证明：BEBA证明如图，设E是线段BA上的一点，且BEBA设a，b，则a，ba，b，a.3，3(b)a，(a3b)，O，E，D三点共线，故E，E重合，BEBA
