1、6.1.3向量的减法(教师独具内容)课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，理解其几何意义.教学重点：1.理解相反向量的含义、向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.教学难点：向量减法的法则及其应用. 知识点一向量减法的定义(1)平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足bxa，则称x为向量a与b的差，并记作xab.(2)在平面内取一点O，作a，b，作出向量，则向量就是a与b的差，也称为向量a与b的差向量，即.知识点二向量减法的三角形法则当a与b不共线时，求ab的差如图所示，此时向量a，b，ab正好能构成一个
2、三角形，上述求两向量差的作图方法也称为向量减法的三角形法则知识点三相反向量(1)相反向量的定义给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作a.的相反向量是，而且.(2)相反向量的性质零向量的始点与终点相同，因此00.任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a(a)0，()0.aba(b)，即一个向量减去另一个向量等于第一个向量加上第二个向量的相反向量(a)a.1abcacbbca，利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项2向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比利用相反向量的定义，加法减法可互化3两个向
3、量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形的知识求得4如图，以向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为ab，ab(ba)，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并牢记5向量的减法也满足交换律和结合律，即abba，(ab)c(ac)ba(bc)6|a|b|ab|a|b|对任意向量成立，结合上一节可得出向量形式的三角不等式|a|b|ab|a|b|，注意每个等号取得的条件，例如a与b同向共线时，|ab|a|b|，a与b反向共线时，|ab|a|b|.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1).()(2)相反向量和相反数是相同的概念()(3)若b是
4、a的相反向量，则a也是b的相反向量()(4)相反向量必为共线向量()(5)共线向量必为相反向量()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)化简：_.(2)若菱形ABCD的边长为2，则|_.(3)已知ABCD，若a，b，试用a，b表示_，_，_，_.答案(1)0(2)2(3)ababab题型一 向量减法的三角形法则例1如图所示，O为ABC内一点，a，b，c.求作bca.解解法一：如图(1)，以，为邻边作OBDC，连接OD，AD，则bc，bca.则即为所求解法二：如图(2)，作b，连接AD，则ca，cabbca.则即为所求运用三角形法则作两个向量和的关键是“作平
5、移，首尾连”；作两个向量差的关键是“作平移，共始点；两尾连，指被减”当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则多个向量相加减时要注意灵活运用运算律如下图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解解法一：如下图，在平面内任取一点O，作a，b，c，连接BC，则bc.过点A作AD綊BC，则bc，则abc.解法二：如下图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.解法三：如下图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.题型二 向量的减法运算例2化简：()()解解法一(变为加法)：原式()()0.解法二(利用公式)：原式()0.解法三(利用公式，其中O是平面内任一点)：原
6、式()()()()0.1.向量减法运算的常用方法2注意满足下列两种形式可以化简(1)首尾相连且为和(2)始点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用3利用向量加减法的基本运算化简向量的一般思路将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则_；(2)化简下列各式：；.答案(1)0(2)见解析解析(1)()()0.(2)()()0.解法一：()()0.解法二：()()0.题型三 用向量的加减法表示向量例3已知O为平行四边形ABCD内一点，且有a，b，c，用a，b，c表示.解在AOD中，在BOC
7、中，.又四边形ABCD是平行四边形，.acb.用几个向量表示某个向量的基本步骤(1)观察各向量的位置；(2)寻找(或作)相应的平行四边形或者三角形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示，.解如题图，因为四边形ACDE是平行四边形，且b，c，所以bc，故由三角形法则得bca，ba，ca，c，cb.1.等于()A. B. C. D.答案D解析根据向量的减法法则知.2如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.0 B.C. D.0答案C解析由|，且与的方向相反，知与是一对相反向量，则0，故A正确；由向量减法的运算法则知，故B正确；由，得，故C错误；与是一对相反向量，所以0，故D正确3已知C是线段AB的中点，则_.答案0解析，0.4化简_.答案解析.5如图所示，在正五边形ABCDE中，m，n，p，q，r，求作向量mpnqr.解mpnqr(mn)(pqr).如图连接AC，并延长AC到F，使|，则向量，即向量就是所求作的向量