1、【课时训练】第41节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直一、选择题1(2018唐山统考)若向量a(2x,1,3)，b(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则()Ax1 BxCx Dx【答案】C【解析】a与b共线，.x.2(2018鞍山模拟)已知向量a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x()A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)【答案】B【解析】由bx2a，得x4a2b(8,12，16)(8，6，4)(0,6，20)3(2018珠海模拟)空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为()A共线 B共面C不
2、共面 D无法确定【答案】C【解析】 (2,0，4)，(2，3，5)，(0，3，4)，由不存在实数，使成立，知A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设xy (x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面故选C.4(2018山东德州模拟)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)若a，b，c三向量共面，则()A9 B9C3 D3【答案】B【解析】由题意，知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.5(2018合肥模拟)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A
3、a2 Ba2Ca2 Da2【答案】C【解析】()()(a2cos 60a2cos 60)a2.6(2018武汉模拟)若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()A BC，相交但不垂直 D以上均不正确【答案】C【解析】n1n22(3)(3)15(4)290，n1与n2不垂直又n1，n2不共线，与相交但不垂直7(2018河北邯郸一模)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcBabcCabcDabc【答案】A【解析】()c(ba)abc.8(2018安徽安庆二模)如图，在大小为45的二面
4、角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A. BC1D【答案】D【解析】，|2|2|2|22221113.故|.二、填空题9(2018四川宜宾模拟)已知向量a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_【答案】【解析】cosa，b.10(2018菏泽模拟)在空间直角坐标系中，点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足点Q的坐标为_【答案】(0，)【解析】由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足点Q的坐标为(0，)11(2018山东淄博模拟)已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)若2，则|的值是_【
5、答案】【解析】设点P的坐标为(x，y，z)，(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2，得点P的坐标为，又D(1,1,1)，|.12(2018柳州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_【答案】2【解析】由题意知0，|，又(6，2，3)，(x4,3，6)，解得x2.三、解答题13(2018河北八市重点高中质检)如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由【证明】(1)连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意，知SO平面ABCD.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则，所以0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件，知是平面PAC的一个法向量，且， ，.设t，则t，而0t，即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.