1、6.1.2导数及其几何意义必备知识素养奠基1.(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为x,当x无限接近于0时,若平均变化率=无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)=k.“当x无限接近于0时,无限接近于常数k”还可以怎样表示?提示:还可以表示为,当x0时,k,或者写成=k,即f(x0)=.(2)瞬时变化率f(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量x很小时,因变量对应的改变量的近似值为f(x0)x.(1)函数y=f在x=x0处的导数
2、一定存在吗?提示:当x0时,平均变化率的极限存在,则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数.(2)函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗?提示:还可以表示为f=等.2.导数的几何意义(1)割线:一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点,P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.(2)切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处(也称在x=x0处)的切线的斜率.切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(
3、1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗?提示:曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.(2)曲线的切线与导数有什么关系?提示:函数f(x)在x=x0处有导数,则函数f(x)在该点处必有切线,并且导数值就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0)处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,例如f(x)=在x=0处有切线,但不可导.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的函数值.()(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是函数y=f(
4、x)在点(x0,f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值.()(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.()(4)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率.()提示:(1).函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点x=x0处的导数值.(2).函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是函数y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线倾斜角的正切值. (3).函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义就是曲
5、线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.(4).函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,不是点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率.2.函数f(x)在x0处可导,则()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.与x0,h均无关D.仅与h有关,而与x0无关【解析】选B.因为f(x0)=,所以f(x0)仅与x0有关,与h无关.3.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y|x=2等于_.【解析】因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y|x=2=3.
6、答案:3关键能力素养形成类型一求函数在某点处的导数【典例】求函数y=x+在x=1处的导数.【思维引】先求,再求得结果.【解析】因为y=(1+x)+-(1+1)=x+-1,所以=1-,所以=0.【素养探】在求函数在某点处的导数时,经常利用核心素养中的数学运算,运用导数定义,通过计算求得.将本例中的函数改为y=3x+2,结果如何?【解析】=3.【类题通】求函数y=f(x)在点(x0,f(x0) 处的导数的三个步骤简称:一差、二比、三极限.【习练破】利用导数的定义,求函数y=+2在x=1处的导数.【解析】因为y=-=,=,所以y|x=1=-2.【加练固】已知函数f(x)在x=1处存在导数,则=()A
7、.f(1) B.3f(1) C.f(1) D.f(3)【解析】选C.=f(1).类型二导数的意义在实际问题中的应用【典例】一质点做抛物线运动,已知在t s时,质点的运动路程(单位:m)为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度;(2)求质点在t=1 s时的瞬时速度,并说明它们的意义.【思维引】(1)按照平均速度的定义式计算;(2)取平均速度的极限即为瞬时速度.【解析】(1)因为s=8-3t2,所以s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,所以质点在1,1+t这段时间内的平均速度为:=-6-3t.(2)质点在t=1 s时的瞬时速度即s(1).s=(-6-3t
8、)=-6.质点在t=1 s时的瞬时速度为-6 m/s,说明在第1 s附近,质点的运动路程每秒大约减少6 m.【内化悟】本例中当导数值为正或负时,有什么不同的意义?提示:当导数值为正时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是增加的;当导数值为负时,则在某一时刻附近,质点的运动路程是减少的.【类题通】关于导数的实际意义根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生.可以利用上述实际问题理解导数的实际意义,导数是在某一时刻附近的瞬时变化率,是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小.【习练破】柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固
9、体变成粘稠液体,如果开始加热后第x h的沥青温度(单位:)为y=f(x)=80x2+20,0x1,求f(0.25),并说明它的实际意义.【解析】因为f(x)=80x2+20,0x1,所以=40+80x.所以f=40.它的实际意义表示,在x=0.25 h附近,沥青的温度以40 /h速率上升.【加练固】一杯80 的热红茶置于20 的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位:)与时间t(单位:min)之间的关系由函数T=f(t)给出,请问(1)f(t)是正数还是负数?有什么实际意义?(2)f(3)=-4的实际意义是什么?【解析】(1)f(t)f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)f(xB)0【
10、解析】选B.f(xA)和f(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故f(xA)f(xB)0.3.若函数y=f(x)在x=1处的导数为1,则=()A.2B.1C.D.【解析】选B.根据导数的定义,=f(1)=1.4.已知直线y=3x+1与曲线y=x3+ax+3相切于点(1,4),则a=_.【解析】由于切点(1,4)在曲线y=x3+ax+3上,所以4=13+a+3,解得a=0.答案:0【新情境新思维】李华在参加一次同学聚会时,用如图所示的圆口杯喝饮料,他想:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图象可能是()【解析】选B.由于圆口杯是“下细上粗”,又向杯子中倒饮料的速度一定,则开始饮料高度增加较快,以后饮料高度增加得越来越慢,仅有B符合.