1、【课时训练】导数与函数的综合问题一、选择题1(2018江苏丹阳高中模拟)某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是RR(x) 则总利润最大时，年产量是()A100B150C200D300【答案】D【解析】由题意，得设总成本函数为CC(x)20 000100 x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大2(2018海南中学期末)设f(x)是定义在R内的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是()A(2,0)(2，)B(2,0)(0,2)C(，2)(2，)D(，2)(0,2)
2、【答案】D【解析】当x0时，0，(x)在(0，)内为减函数又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)3(2018河北故城模拟)若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A(，7B(，20C(，0D12,7【答案】B【解析】令f(x)x33x29x2，则f (x)3x26x9，令f (x)0，得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20，f(x)的最小值为f(2)20.故m20.4(2018贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：x
3、10234f(x)12020f(x)的导函数yf (x)的图象如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点的个数为()A1B2C3D4【答案】D【解析】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图象如图所示由于f(0)f(3)2,1a2，所以yf(x)a的零点个数为4.5(2018河南濮阳一模)函数f(x)的导函数为f (x)，若xR恒有f (x)ex2的解集为()A(，1)B(1，)C(2，)D(，2)【答案】D【解析】设函数g(x)，则g(x)ex2可转化为.g(2)，x2，x(，2)故选D.二、填空题6(2018襄阳四校联考)某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3
4、x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_【答案】40【解析】由yx239x400，得x1或x40，由于当0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值7(2018长沙调研)定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f (x)，满足f(x)f (x)，且f(0)1，则不等式1的解集为_【答案】(0，)【解析】构造函数g(x)，则g(x).由题意，得g(x)0恒成立，所以函数g(x)在R内单调递减又g(0)1，所以1，即g(x)0.所以不等式的解集为(0，)三、解答题8(2018昆明一中月考)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x
5、)0，得解得0x，故f(x)的单调递增区间是.(2)【证明】令F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有f (x).当x(1，)时，f (x)1时，F(x)1时，f(x)1时，f(x)0时，解不等式f(x)0；(2)当a0时，求整数t的所有值，使方程f(x)x2在t，t1上有解【解】(1)因为ex0，(ax2x)ex0，所以ax2x0.又因为a0，所以不等式化为x0.所以不等式f(x)0的解集为.(2)当a0时，方程即为xexx2，由于ex0，所以x0不是方程的解所以原方程等价于ex10.令h(x)ex1，因为h(x)ex0对于x(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)内是单调递增函数又h(1)e30，h(3)e30，所以方程f(x)x2有且只有两个实数根且分别在区间1,2和3，2上所以整数t的所有值为3,1
