1、课后限时集训(五十二)直线与椭圆建议用时：40分钟一、选择题1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，)B(1,3)(3，)C(3，)D(0,3)(3，)B由得(3m)x24mxm0，由题意可知解得又m0，且m3，m1且m3.故选B.2过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()AB CDB由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.联立 解得交点坐标为(0，2)，不妨设A点的纵坐标yA2，B点的纵坐标yB，SOAB|OF|yAyB|1.3(2020沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：1，过点P(2,1)的
2、直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|AB|()AB CDD设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，x1x24，y1y22，由两式相减得：0，化简得：1，直线AB的斜率为1，又直线AB过点P(2,1)，直线AB的方程为：y1(x2)，即yx3，联立方程消去y得3x212x100，x1x24，x1x2，|AB|，故选D.4已知椭圆C：1(ab0)与直线yx3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()A1B1C1D1B将直线方程yx3代入C的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化
3、简得a2b29，则，解得a25，b24，所以椭圆的方程为1.5直线l过椭圆y21的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为()AB CDB由y21，得a22，b21，所以c2a2b2211，则c1，则左焦点F(1,0)由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为ykxk.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k21)x24k2x2k220.则PQ的中点M的横坐标为.因为FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以，解得k.6(多选)(2020福建侨光中学月考)在平面内，若曲线C上存在点P，使点
4、P到点A(3,0)，B(3,0)的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”以下曲线是“有用曲线”的是()Axy5Bx2y29C1Dx216yACD设点P的坐标为(x，y)，由点P到点A(3,0)，B(3,0)的距离之和为10，可得点P的轨迹方程为1.对于A，由整理得41x2250x2250，250244122525 6000，因此曲线xy5上存在点P满足条件，故选项A给出的曲线是“有用曲线”；同理可得曲线1与1有交点(5,0)与(5,0)，曲线x216y与1显然也有交点，因此可判断选项C，D给出的曲线是“有用曲线”，而选项B给出的曲线x2y29在曲线1的内部，无交点，故不是“有用曲线”二、填空
5、题7过椭圆C：1的左焦点F作倾斜角为60的直线l与椭圆C交于A，B两点，则等于_由题意可知F(1,0)，故l的方程为y(x1)由得5x28x0，x0或.A(0，)，B.又F(1,0)，|AF|2，|BF|，.8(2020碑林区一模)在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：1上运动，则点P到直线xy50的距离的最大值为_5设P(4cos ，3sin )，02，点P到直线xy50的距离为d，所以dmax5.9已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率为_设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yMxM，代
6、入k1，M(4，1)，解得，e.三、解答题10设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b的值解(1)易知M，由得2b23ac，故2(a2c2)3ac，解得，2(舍去). 故椭圆的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点， MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方
7、程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28.故a7，b2.11(2020汨罗市一模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围解(1)由题意可知解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykxm代入椭圆方程，消去y得(14k2)x28kmx4m240，所以(8km)24(14k2)(4m24)0，即m24k21，由根与系数关系得x1x2，则y1y2， 所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线
8、l的方程为y(x1)，由点P在直线l上，得，即4k23km10，所以m(4k21)，由得4k21，4k210，4k219k2，所以k2，即k或k，所以实数k的取值范围是.1(多选)若椭圆C1：1(a1b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2，则以下结论中正确的是()A椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点BCaabbDa1a2b1b2ACD由题意可得两椭圆的焦点均在x轴上，且abab，即有aabb，故C正确；由a1a2，可得b1b2，结合椭圆的对称性可得椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点，故A正确；由aabb，得(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，则，由a1b1，a2b2
9、，可得a1a2b1b2，则1，即有1，又b1b2，所以b1b20，所以a1a2b1b2，故D正确；由已知条件无法判断正确故选ACD.2(多选)设椭圆的方程为1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点下列结论正确的是()A直线AB与OM垂直B若点M的坐标为(1,1)，则直线方程为2xy30C若直线方程为yx1，则点M的坐标为D若直线方程为yx2，则|AB|BD对于A选项，根据椭圆的中点弦的性质得kABkOM21，所以A不正确；对于B选项，根据题意得，kOM1，又kABkOM2，所以kAB2，所以直线方程为y12(x1)，即2xy30，所以B正确；对于C选项，若
10、直线方程为yx1，点M的坐标为，则kABkOM1442，所以C不正确；对于D选项，若直线方程为yx2，与椭圆方程1联立，消去y得2x2(x2)240，整理得3x24x0，解得x10，x2，所以|AB|0|，所以D正确3已知椭圆C的两个焦点为F1(1，0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，则1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y
11、2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k.1(2020湖州模拟)已知直线xmy2(mR)与椭圆1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_；若|AB|，则实数m的值是_1易知直线xmy2恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆1的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长，联立，消去x得，(5m29)y220my250，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，则|AB|，解得m1.2已知椭圆C：1(ab0)过点P(2，)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过(0，1)的直线l交椭
12、圆于A，B两点，试问：是否存在一个定点T，使得以线段AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以ab.所以椭圆C的方程为1.又椭圆C经过点P(2，)，代入椭圆方程得b3.所以a3.故所求椭圆方程为1.(2)由已知动直线l过(0，1)点当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2(y1)216；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2y29.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点因此，所求点T如果存在，只能是点(0,3)以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0,3)当l与x轴不垂直时，设l：ykx1.由得(2k21)x24kx160.由(0，1)在椭圆内部知0成立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又(x1，y13)，(x2，y23)，所以x1x2(y13)(y23)x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)4k160.所以TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)所以存在一个定点T(0,3)满足条件.
