1、百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷（押题卷）理科数学（第三模拟）一、选择题：共12题1设全集U=R,集合A=x|x2-2x0,B=x|y=log2(x2-1),则(UA)B=A.1,2)B.(1,2)C.(1,2D.(-,-1)0,2【答案】B【解析】本题考查一元二次不等式的解法,函数的定义域以及集合的交、补运算.解题时,先求出对应不等式的解集,然后根据数轴确定两个集合的运算.由已知得A=(-,02,+),UA=(0,2),又B=(-,-1)(1,+),(UA)B=(1,2),故选B. 2已知i为虚数单位,若复数z=的虚部为-3,则|z|=A.B.2C.D.5【答案】C【解析】本题主要考查
2、复数的虚部、模等有关概念,考查复数的运算,考查考生灵活运用知识的能力和运算求解能力.先根据复数的运算法则将z=化简,然后利用复数的虚部的定义列出方程,求出a的值,最后由复数模的概念求出结果.z=-i,-=-3,a=5,z=-2-3i,|z|=, 故选C. 3若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是A.xR,f(-x)f(x)B.xR,f(-x)=-f(x)C.x0R,f(-x0)f(x0)D.x0R,f(-x0)=-f(x0)【答案】C【解析】本题主要考查偶函数的定义和全称命题的否定,考查考生对基础知识的掌握情况.定义域为R的偶函数的定义:xR,f(-x)=f(x),
3、这是一个全称命题,所以它的否定为特称命题:x0R,f(-x0)f(x0),故选C. 4已知sin(+)=-,则2sin2-1=A.B.-C.D.【答案】A【解析】本题主要考查诱导公式、二倍角公式等,考查考生的运算能力.通解,sin(+)=-,cos=-,2sin2-1=-cos=,故选A.优解,特殊值法,取+=,=,2sin2-1=2()2-1=,故选A. 5某学校为了提高学生的安全意识,防止安全事故的发生,拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天中恰好有2天连续的概率是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查排列组合以及古典概型等基础知识,考查考生分析问题、解决问题
4、的能力以及运算求解能力.连续7天中随机选择3天,有=35种情况,其中恰好有2天连续,有4+3+3+3+3+4=20种情况,所以所求的概率为,故选D. 6已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线与直线3x-4y-5=0垂直,则双曲线的离心率为A.或B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、基本量之间的关系,考查考生的运算求解能力.直线3x-4y-5=0的斜率为,双曲线的一条渐近线的斜率为-,即-=-,b=a,c=a,e=,故选C. 7如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.+4B.2+C.+4D.+【答案】D【解析】本题考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等
5、,考查空间想象能力和基本的运算能力等.首先根据三视图确定几何体的结构特征,然后根据三视图中的数据确定几何体的几何量,最后求解几何体的体积即可.由三视图可知,该几何体是一个半圆柱与一个四棱锥的组合体,如图所示,其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面,顶点P在半圆柱所在圆柱OO1的底面圆上,且点P在AB上的射影为底面圆的圆心O.由三视图中的数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r=1,母线长l=2,故半圆柱的体积V1=r2l=122=;四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,PO底面ABCD,且PO=r=1,故其体积V2=S正方形ABCDPO=221=.故该几何体的体积V=V1+V2=+. 8阅读程序
6、框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所组成的集合为A.1,2,3B.2,3,4C.2,3D.1,2【答案】C【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,考查考生的逻辑思维能力和运算能力.解题的关键是读懂程序框图.通解要使输出的结果中有且只有三个自然数,只能是5,4,2,所以应使510,解得1n03,即n0=2,3,所以输入的自然数n0的所有可能值为2,3,故选C.优解代入验证法,当n0=1时,输出的结果是10,5,4,2,排除选项A,D,当n0=4时,输出的结果是4,2,排除选项B,故选C. 9已知函数f(x)=asinx-bcosx(a,b为常数,a0,xR)
7、在x=处取得最小值,则函数y=|f(-x)|的A.最大值为a,且它的图象关于点(,0)对称B.最大值为a,且它的图象关于点(,0)对称C.最大值为b,且它的图象关于直线x=对称D.最大值为b,且它的图象关于直线x=对称【答案】C【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质等知识,考查考生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.先由条件求出a与b的关系,再进行三角恒等变换,然后由函数的表达式进行求解.由条件得f()=f(0),a=-b,f(x)=asinx+acosx=asin(x+),又f(x)在x=处取得最小值,a0,y=|f(-x)|=|asin(-x+)|=|asinx|=b|s
8、inx|,故选C. 10已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取得最小值时,(a+1)2+(b-1)2的最小值为A.1B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查线性规划的应用,数形结合是解决线性规划题目的常用方法.画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=ax+by(a0,b0),即y=-x+,显然当直线经过点A时,z的值最小,由可得,即A(3,1),故3a+b=,(a+1)2+(b-1)2的最小值,即在直线3a+b=上找一点,使得它到点(-1,1)的距离的平方最小,即点(-1,1)到直线3a+b=的距离的平方d2=()2=,选D. 11设等
9、比数列an的前n项和为Sn,则M=+,N=Sn(S2n+S3n)的大小关系是A.MNB.NMC.M=ND.不确定【答案】C【解析】本题考查等比数列的性质.解题的关键是熟练掌握等比数列的性质,且能进行准确计算.对于等比数列1,-1,1,-1,1,-1,S2k=0,S4k-S2k=0,S8k-S4k=0,令n=2k,此时有M=N=0; 对于Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,各项均不为零时,等比数列an的前n项和为Sn,设an的公比为q,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是一个公比为qn的等比数列,S2n-Sn=Snqn,S3n-S2n=Snq2n,M=+1+(1+qn)2=(2+2qn+q2n)
10、=Sn(S2n+S3n)=N.由上可知,M=N,选C. 12已知函数f(x)=x2+ex-(x0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是A.(-,)B.(-,)C.(0,)D.(-,)【答案】B【解析】本题主要考查导数的基本概念以及函数的性质,考查考生的理解能力和运算能力,分析问题、解决问题的能力以及化归与转化思想.通解由题意可得,存在x0,则问题等价于h(x)=ex-ln(-x+a)在(-,0)上存在零点,易证h(x)在(-,0)上单调递增,当x趋近于-时,ex趋近于0,ln(-x+a)趋近于+,h(x)趋近于-,只需h(0)0,即1-lna00a
11、0,易得当x趋近于a时,h(x)趋近于+,a0符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(-,),故选B.优解特殊值法和排除法, 由题意可得,存在x0,h(-1)=-ln 20,由零点存在性定理可得a=1满足题意,排除选项A,C,D,故选B. 二、填空题：共4题13已知向量与的夹角为120,且|=2,|=3,若=+,且,则实数的值为.【答案】【解析】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算以及向量垂直的充要条件,考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力.由=(+)(-)=0得-()2+()2-=0-3-4+9+3=0=. 14(+x)(2-)6的展开式中x2的系数是.【答案】243【解析】本题主要考
12、查二项展开式的通项和指定项的系数的求解,考查考生对二项式定理的理解以及运算求解能力.(2-)6展开式的通项为Tr+1=26-r(-)r=(-1)r26-r, 分别取r=6,r=2,得(+x)(2-)6的展开式中含x2的项为x3+x24x=243x2,故系数为243. 15已知点P是抛物线C1:y2=4x上的动点,过点P作圆C2:(x-3)2+y2=2的两条切线,则两切线夹角的最大值为.【答案】【解析】本题主要考查抛物线的性质、圆的切线的性质以及函数的最值等有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.由已知得,圆心C2(3,0),半径为.设点P(,y0),两切点分别为A,B,要使两
13、切线的夹角最大,只需|PC2|最小,|PC2|=,当=4时,|PC2|min=2,APC2=BPC2=,APB=. 16在ABC中,是2B与2C的等差中项,AB=,角B的平分线BD=,则BC=.【答案】【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、等差数列等知识,意在考查考生的运算求解能力及应用能力.本题先利用正弦定理求出ADB,得出ABC=ACB,进而得两边相等,最后用余弦定理求解.在ABC中,是2B与2C的等差中项,A=2(B+C),而A+B+C=180,A=120.在中,由正弦定理得,sinADB=,ADB=45,ABD=15,ABC=30,ACB=30,AC=AB=,在ABC中,由余弦定理得
14、BC=. 三、解答题：共8题17设数列an的前n项积为Tn,且Tn+2an=2(nN*).(1)求证:数列是等差数列;(2)设bn=(1-an)(1-an+1),求数列bn的前n项和Sn.【答案】(1)Tn+2an=2,当n=1时,T1+2a1=2,T1=,即.又当n2时,Tn=2-2,得TnTn-1=2Tn-1-2Tn,-,数列是以为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知,数列为等差数列,+(n-1)=,an=,bn=(1-an)(1-an+1)=-,Sn=(-)+(-)+(-)=-.【解析】本题考查数列的基础知识,考查等差数列的定义、通项公式,前n项和的求法等,考查考生的逻辑推理能力和分
15、析问题、解决问题的能力.第(1)问根据已知条件得出数列为等差数列;第(2)问利用裂项相消法求和.【备注】近几年的高考数列试题以等差、等比数列为载体,考查等差、等比数列的判断,求数列的通项公式和前n项和,考查数列的基础知识和逻辑推理能力.在复习数列知识的过程中,要求考生掌握好求数列的通项公式和前n项和的基本方法,重视等差数列、等比数列与函数、不等式等知识的综合问题,学会运用函数的观点、分类讨论与等价转化的思想方法分析问题和解决问题,提高运算能力.18某校拟举办“成语大赛”,高一(1)班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试,在相同的测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)的茎叶图如图所
16、示.(1)你认为选派谁参赛更好?并说明理由;(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析,设抽到的2次成绩中,90分以上的次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望EX.【答案】(1)由茎叶图可知,甲的平均成绩为=73.8(分),乙的平均成绩为=82.8(分),乙的平均成绩大于甲的平均成绩,又甲的成绩的方差为(58-73.8)2+(55-73.8)2+(76-73.8)2+(88-73.8)2+(92-73.8)2=228.16,乙的成绩的方差为(65-82.8)2+(82-82.8)2+(87-82.8)2+(85-82.8)2+(95-82.8)2=97.76,乙的成绩的方差小于甲
17、的成绩的方差,因此选派乙参赛更好.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以随机变量X的分布列是EX=0+1+2.【解析】本题考查茎叶图、平均数、方差以及离散型随机变量的分布列和数学期望,考查考生分析问题、解决问题的能力及计算能力.第(1)问对数据进行分析得出结论;第(2)问利用组合数,借助随机事件的概率进行求解.【备注】概率与统计解答题多是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率与统计等知识为工具,考查对概率事件的判断、识别及其概率的计算和随机变量的分布列及其应用,考查运用概率知识解决实际问题的能力,这是历年高考概率与统计试题的考查特点和命
18、题趋向,经常涉及离散型随机变量的分布列和数学期望.19如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=3,ACB=90,又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,且BC=3B.(1)求证:AC平面BB1C1C;(2)求二面角C-AB-C1的大小.【答案】(1)点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,B1D平面ABC,AC平面ABC,B1DAC,又ACB=90,BCAC,又B1DBC=D,AC平面BB1C1C.(2)B1D平面ABC,B1DBC,又BD=BC=1,B1B=AA1=3,B1D=2.以C为原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z
19、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,3,0),B1(0,2,2),C1(0,-1,2),=(-3,3,0),=(0,-4,2).显然平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),设平面ABC1的法向量为m=(x,y,z),则,即,令x=,则y=,z=2,平面ABC1的一个法向量为m=(,2).cos=,=,二面角C-AB-C1的大小是.【解析】本题主要考查空间几何体中线面垂直的判定、二面角的计算,意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力.第(1)问关键是找到线线垂直,从而得出线面垂直;第(2)问建立空间直角坐标系,利用空间向量计算求解.【备注】高考对立体几何的考查以空间线
20、面位置关系的证明,空间角、空间距离的求解为主.解决此类问题有两种方法:传统法和向量法.对于平行和垂直问题的证明或探求,其关键是在线线、线面、面面之间进行灵活转化,在寻找解题思路时,不妨采用分析法,从要求证的结论出发逐步逆推到已知条件.利用向量法解决几何问题要重视空间直角坐标系的建立、点的坐标和法向量的求解的准确性.20已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=4,椭圆E:+=1(ab0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;(2)已知动直线l1(斜率存在)与椭圆E交于P,Q两个不同的点,且OPQ的面积SOPQ=1,若N为线段PQ的中点,问:在x轴上是否存在
21、两个不同的定点A,B,使得直线NA与NB的斜率之积为定值?若存在,求出A,B的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离d=,则直线l被圆O截得的弦长为2,所以b=1,e=,b=1,a2=4,b2=1,椭圆E的方程为+y2=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l1的方程为y=kx+m,由,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,则判别式=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)0,m21+4k2,x1+x2=-,x1x2=,|PQ|=|x1-x2|=,原点O到直线l1的距离d1=,则SOPQ=|PQ|d1=1,2|m|
22、=1+4k2,令1+4k2=n,则2|m|=n,n=2m2,1+4k2=2m2.N为PQ的中点,xN=-,yN=,1+4k2=2m2,xN=-,yN=,+2=1.假设在x轴上存在两个不同的定点A(s,0),B(t,0)(st)满足题意,则直线NA的斜率k1=,直线NB的斜率k2=,k1k2=-.当且仅当s+t=0,st=-2时,k1k2=-,则s=,t=-或s=-,t=,综上所述,存在两个不同的定点A(,0),B(-,0)或A(-,0),B(,0),使得直线NA与NB的斜率之积为定值.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、性质,考查直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力和数形结合思想
23、.【备注】近几年的高考题中,解析几何一般重点考查圆锥曲线的方程、几何性质和与其他图形结合的综合运用等.第(1)问都是简单的求解方程和离心率,属于送分题;第(2)问重点考查思想方法,一般要利用化归与转化思想和设而不求的思想,需利用坐标将问题转化为比较熟悉的弦长问题、距离问题、方程问题等,然后解决.21已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y-3=0平行.(1)求证:方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根;(2)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小者),求m(x)的最大值.【答案】(1)
24、由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)=2,又f(x)=lnx+1,所以a=1.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx-,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使h(x0)=0.因为h(x)=lnx+1+,当x(1,2)时,0x(2-x)=-(x-1)2+1e,所以01-0,所以当x(1,2)时,h(x)单调递增,所以方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根.(2)由(1)知,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的实根x0,且x(0,x0)时,f(x)0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(x0,+)时,
25、h(x)0,所以当x(x0,+)时,f(x)g(x),所以m(x)=.当x(0,x0)时,若x(0,1,则m(x)0;若x(1,x0,由m(x)=lnx+10,可知00,m(x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减.可知m(x)m(2)=,且m(x0)m(2).综上可得,函数m(x)的最大值为.【解析】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,考查考生的运算求解能力和分类讨论思想的应用.第(1)问先利用导数的几何意义求出a,再证明存在性,最后研究函数的单调性,从而证明唯一性;第(2)问利用分类讨论思想求解.【备注】高考对导数的考查是多方面的,但一
26、般是先利用导数的方法研究函数的单调性、极值和最值等,再结合方程、不等式等问题把试题引向深处.解与不等式恒成立相关的问题,一般可通过不等式的变形来分离变量,从而构造新的函数,转化为新函数的单调性和最值问题来求解.22如图,四边形ABCD内接于圆O,且对边BA和CD的延长线相交于点E,P是BC延长线上的点,过点P作圆O的切线,切点为F,连接PE,且PE=PF.求证:(1)ADPE;(2).【答案】(1)PF是圆O的切线,PF2=PBPC,PE=PF,PE2=PBPC,即,又EPB=CPE,EPBCPE,EBP=CEP.又四边形ABCD内接于圆O,ADE=EBP,ADE=CEP,ADPE.(2)EP
27、BCPE,又PE=PF,PF是圆O的切线,PBF=PFC,又BPF=CPF,PBFPFC,.【解析】本题主要考查平面几何中圆的切线的性质、圆内接四边形的性质与相似三角形的证明,考查考生的转化与化归能力、推理论证能力.第(1)问运用圆的切割线定理进行三角形相似的证明,从而得到线线平行;第(2)问借助弦切角定理证明相等关系,证明三角形相似, 从而得到线段成比例.【备注】几何证明选讲要求考生掌握好几个重要定理:直角三角形的射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、相交弦定理与切割线定理.这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决,因此在复习时
28、要注意总结一些添加辅助线的方法和技巧.23已知曲线C1的参数方程为(t为参数), 以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=.(1)求证:曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0;(2)设M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值.【答案】(1)=,-cos=2,即=cos+2,2=(x+2)2,化简得y2-4x-4=0.曲线C2的直角坐标方程为y2-4x-4=0.(2)(t为参数),2x+y+4=0,曲线C1的普通方程为2x+y+4=0,曲线C1是直线2x+y+4=0.M1是曲线C1上的点,M2是曲线C2上的点,|M1M2|的最小值等
29、于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值.设M2(r2-1,2r),M2到直线2x+y+4=0的距离为d,则d=.|M1M2|的最小值为.【解析】无 24已知函数f(x)=|2x-a|.(1)若f(x)b的解集为x|-1x2,求实数a,b的值;(2)若a=2时,不等式f(x)+mf(x+2)对一切实数x均成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)|2x-a|b,x,f(x)b的解集为x|-1x2,.(2)由已知,得mf(x+2)-f(x)=|2x+2|-|2x-2|对一切实数x均成立,又|2x+2|-|2x-2|(2x+2)-(2x-2)|=4,m4.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查考生的转化能力和计算能力.【备注】对于带有绝对值的不等式的求解,要掌握好三种方法:一是根据绝对值的几何意义,借助于数轴的直观解法;二是根据绝对值的意义,采用零点分段法去绝对值后,转化为不等式组的方法;三是构造函数,利用函数图象求解的方法.在解题过程中,应根据不同的问题情境灵活运用这些方法.
