1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点34 立体几何中的向量方法一、填空题1.(2015四川高考理科T14)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos的最大值为.【解析】如图,建立空间坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0m2),则=(2,1,0),=(1,-m,-2),cos=令t=2-m(0t2),cos=答案:二、解答题3.（201
2、5安徽高考理科T19）如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F（1）证明：(2)求二面角余弦值.【解题指南】（）利用线面平行的判定和性质定理；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解。【解析】（1）因为平面,平面，所以平面,又平面，平面平面=EF，所以EF/.(2)以A为原点，分别以 为x轴，y轴，z轴单位正向量建立空间直角坐标系，则A(0，0，0),B(1，0，0),D(0，1,0), 而E是的中点，所以点E的坐标为（0.5,0.5,1）.设平面的法向量，又,由,得:,令，则，设平面的法向量，又,由同理可得:，所以结合图形可得二面角的余弦值为。4.(2015天津高考理
3、科T17)(本小题满分13分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN平面ABCD.(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值.(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.【解题指南】以A为原点建立空间直角坐标系.(1)求出直线MN的方向向量与平面ABCD的法向量,两个向量的乘积等于0即可.(2)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.(3)设=,代入线面角公式计算可解出的值,即可求
4、出A1E的长.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),B1(0,1,2),D1(1,-2,2).(1)因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M(1,1),N(1,-2,1),所以=(0,-,0).依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.由此可得n=0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0), =(0,1,2).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法
5、向量, 则，得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有，于是.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)设直线NE与平面ABCD所成角为,依题意,可设，其中，则，从而。又为平面的一个法向量，由已知，得sin=，整理得，又因为，解得.所以,线段A1E的长为.5.(2015新课标全国卷理科T18)(12分)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)证明:平面AEC平面AFC.(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【解析】(1)连结BD,设BDAC=G,连结EG,FG,EF.在菱形
6、ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120,可得AG=GC=.由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AEEC,所以EG=,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=,故DF=.在RtFDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.又因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得,，所以,.故.所以直线与直线所成角的余弦值为6.(2015新课标全国卷理科T19
7、)(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由).(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10
8、,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则,.所以可取，又，故.所以与平面所成的角的正弦值.7(2015山东高考理科T17)(本小题满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH.(2)若CF平面ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.【解题指南】(1)要证明线面平行可利用面面平行加以证明.(2)设法构造两两垂直的三条直线,以便建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角.【解析】(1)
9、因为DEF-ABC是三棱台,且AB=2DE,所以BC=2EF,AC=2DF.因为点G,H分别是AC,BC的中点,所以GHAB,因为AB平面FGH,GH平面FGH,所以AB平面FGH;因为EFBH且EF=BH,所以四边形BHFE是平行四边形,所以BEHF,BE平面FGH,HF平面FGH,所以BE平面FGH;又因为ABBE=B,所以平面ABE平面FGH,因为BD平面ABE,所以BD平面FGH.(2)因为CF平面ABC,所以CFAB,又BCAB,BCCF=C,所以AB平面BCFE,以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴建立空间直角坐标系,因为BAC=45,所以BC=AB,设DE=1,
10、则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),H(1,0,0),G(1,1,0),F(2,0,1),所以=(0,1,0),=(1,0,1),设平面FGH的一个法向量为n=(x,y,z),则,令x=1,则z=-1,所以n=(1,0,-1).连接BG,可得BGAC,BGCF,又ACCF=C,所以BG平面ACFD.所以=(1,1,0)是平面ACFD的一个法向量,所以所以平面FGH与平面ACFD所成的锐二面角的大小为60.8（2015重庆高考理科19）如题（19）图，三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且(1)证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【解题指南】（1）直接利用勾股定理及线面垂直的定
11、义证明即可（2）通过证明垂直关系建立空间直角坐标系，再利用法向量求解二面角的余弦值.【解析】（1）证明：由平面，平面，故由得为等腰直角三角形，故由垂直于平面内两条相交直线，故平面（2）解：由（1）可知，为等腰直角三角形，如答（19）图，过D作DF垂直CE于F，易知又已知，故由得故以C为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为由可得故可取由（1）可知平面，故平面的法向量可取为，即从而法向量的夹角的余弦值为故所求二面角的余弦值为9.(2015福建高考理科T17)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,
12、点G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF平面ADE.(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.【解题指南】(1)利用线线平行线面平行,找出AE的中点H,连接HG,HD即可.或者利用面面平行线面平行,找出AB的中点M,连接MG,MF.(2)利用空间向量求出锐二面角的余弦值.【解析】方法一:(1)如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又点G是BE的中点,所以GHAB,且GH=AB,又点F是CD的中点,所以DF=CD,由四边形ABCD是矩形得,ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以G
13、F平面ADE.(2)如图,在平面BEC内,过点B作BQEC,因为BECE,所以BQBE,又因为AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ,以B为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1),因为AB平面BEC,所以=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量,又，由，得，取，得.从而，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.方法二:(1)如图,取AB的中点M,连接MG,MF.又点G是BE的中点,可知GMAE,又AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面ADE.
14、在矩形ABCD中,由点M,F分别是AB,CD的中点,得MFAD,又AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE,又因为GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE,因为GF平面GMF,所以GF平面ADE.(2)同方法一.10. (2015陕西高考理科T18)(本小题满分12分)如图1,在直角梯形CD中,DC,D=,=C=1,D=2,是D的中点,是C与的交点.将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2.(1)证明:CD平面1OC.(2)若平面1平面CD,求平面1C与平面1CD夹角的余弦值.【解题指南】(1)运用E是AD的中点,判断得出BEAC,BE面A1OC,考虑
15、CDBE,即可判断CD面A1OC.(2)根据条件建立空间直角坐标系,求出平面A1BC与平面A1CD的法向量,代入向量的夹角公式求出二面角的余弦值.【解析】(1)在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC,即在图2中,BEOA1,BEOC,又OA1OC=O,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1B=A1E=BC=ED=1,BCED,所以得 ，.设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD的夹角为,则，得，取，得，取，从而，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.关闭Word文档返回原板块