1、课后限时集训(三十一)正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10D北偏西10B如图所示，由ACBC得CABCBA45.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15，故选B.2在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30，60，则塔高为()A. mB mC. mD mA如图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120，又AB200 m，AC m.在ACD中，由正弦定理，得，即DC(m)3(2020武昌区模拟)一艘海轮从A处出
2、发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A6海里B6海里C8海里D8海里A由题意可知：BAC704030，ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512，在ABC中，由正弦定理得，即，BC6，故选A.4已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2Acos 2B2cos 2C，则cos C的最小值为()A.B C.DC因为cos 2Acos 2B2cos 2C，所以12sin2A12si
3、n2B24sin2C，得a2b22c2，cos C，当且仅当ab时等号成立，故选C.5(多选)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a8，b4，c7，且满足(2ab)cos Cccos B，则下列结论正确的是()AC60BABC的面积为6Cb2DABC为锐角三角形AB(2ab)cos Cccos B，(2sin Asin B)cos Csin Ccos B，2sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin C，即2sin Acos Csin(BC)，2sin Acos Csin A在ABC中，sin A0，cos C，C60，A正确由余弦定理c2a2b22abcos C，得
4、4964b228bcos 60，即b28b150，解得b3或b5，又b4，b3，C错误ABC的面积Sabsin C836，B正确又cos Aa，所以ABC为钝角三角形，满足条件的三角形只有1个，故B错误；对于C，由等差数列的性质，可得ac2b2，得b2ac，由等比数列的性质得sin Asin Csin2B，得acb2，所以abc，ABC为等边三角形，C正确；对于D，Sacsin B5sin B4，sin B，又，所以B或B，所以cos B或，故D错误综上所述，选AC.二、填空题7一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60
5、，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里10如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，AC10，CAB60，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)8(2020湖北孝感统考)在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2，A，则asin C_，ab的取值范围是_(1,42)由正弦定理，可得，则asin Ccsin A2sin .由，可得a，b，所以ab111.由ABC是锐角三角形，可得0C，0C，则C，所以，2tan 1，所以1ab142，所以ab的取值范围为(1,42)9.如图，在ABC中，D是边AC
6、上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为_设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.三、解答题10(2020福州模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsin Aa(2cos B)(1)求B；(2)若ABC的面积等于，求ABC的周长的最小值解(1)因为bsin Aa(2cos B)由正弦定理得sin Bsin Asin A(2cos B)显然sin A0，所以sin Bcos B2.所以2sin2，B(0，)所以B，B.(2)依题意，ac4.所以ac24，当
7、且仅当ac2时取等号又由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12.b2.当且仅当ac2时取等号所以ABC的周长最小值为42.11.(2020青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，AB1，AD，BC.(1)若CD1，求四边形ABCD的面积；(2)若sinBCD，ADC，求sinADC.解(1)连接BD，在RtABD中，由勾股定理可得，BD2AB2AD24，故BD2，BCD中，由余弦定理可得，cos C，因为C为三角形的内角，故C，所以SABDABAD1，SBCDBCCDsin C(1)，故求四边形ABCD的面积S.(2)在BCD中，由正弦定理可得，所以sinBDC
8、，因为ADC，所以BDC，cosBDC，RtABD中，tanADB，故ADB，所以sinADCsin.1(2020朝阳区二模)圭表(如图)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为26.5，夏至正午太阳高度角(即ADC)为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC
9、的长)为()图图ABCDD由题可知：BAD73.526.547，在BAD中，由正弦定理可知：，即，则AD，又在ACD中，sinADCsin 73.5，所以AC，故选D.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a30，c20，若bsin C20cos，则b_，sin(2CB)_.10在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B又bsin C20cos ，csin Bccos ，sin Bcos ，tan B.又0Bc，cos C，sin(2CB)sin 2Ccos Bcos 2Csin B2sin Ccos Ccos (cos2Csin2C)sin 2.3(2020凉山模拟)
10、如图，在平面四边形ABCD中，D，sinBACcos B，AB13.(1)求AC；(2)求四边形ABCD面积的最大值解(1)在三角形ABC中，sinBACcos B，可得ACBC，AB13，所以BCABcos B135，ACABsin B1312，所以AC12.(2)S四边形ABCDSABCSADCACBCADCDsin D125ADCD30ADCD，在三角形ADC中，AC2AD2CD22ADDCcos 2ADDCDC3ADDC，所以3ADDCAC2122，所以ADDC48，所以S四边形ABCD30483012.所以四边形ABCD面积的最大值为3012.1(2020泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见
11、的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为_80由已知得，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21 600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80.故图中海洋蓝洞的口径为80.2在RtABC中，ACB90，点D，E分别在边AB，BC上，CD5，CE3，且EDC的面积为3.(1)求边DE的长；(2)若AD3，求sin A的值解(1)如图，在ECD中，SECDCECDsinDCE35sinDCE3，所以sinDCE.因为0DCE90，所以cosDCE.所以DE2CE2CD22CDCEcosDCE92523528，所以DE2.(2)因为ACB90，所以sinACDsin(90DCE)cosDCE，在ADC中，由正弦定理得，即，所以sin A.
