1、典题精讲 例1 若向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ac=_.思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式求解.方法一：a+b+c=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0.2(ab+bc+ac)=-（a2+b2+c2）=-（|a|2+|b|2+|c|2）=-（32+12+42）=-26.ab+bc+ac=-13.方法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|，c=-a-b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有ab+bc+ac=3cos0+4cos180+
2、12cos180=3-4-12=-13.答案：-13 绿色通道：由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：a2=a2，(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 变式训练 已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?思路分析：(a+mb)(a-mb)(a+mb)(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)(a-mb)=0,a2-m2b2=0.|a|=5,|b|=12，a2=25,b2=14
3、4.25-144m2=0.m=.当且仅当m=时，向量a+mb与a-mb互相垂直. 例2 （2006福建高考卷，理11） 已知|=1,|=,=0,点C在AOB内,且AOC=30.设=m+n(m、nR)，则等于( )A. B.3 C. D.思路解析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解，向量是高中数学新增内容，所以它也成为高考重点考查的内容之一.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).设=(cos30,sin30)=(,),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),得(,)=(m,n)方
4、法二：=(m+n)2=m22+n22=m2+3n2，|=.由已知,得BOC=60，在等式=m+n(m、nR)两端同乘以，得=m2，m=|cos30=m2=9n2.由题设知m0,n0,=3.答案：B 黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误. 变式训练 (2006福建高考卷，文9) 已知向量a与b的夹角为120，|a|=3,|a+b|=,则|b|等于( )A.5 B.4 C.3 D.1思路解析：向量a与b的夹角为120，|a|=3,|a+b|=,ab=|a|b|cos120=|b|，|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2，1
5、3=9-3|b|+|b|2，则|b|=-1(舍去)或|b|=4.答案：B 例3 (2006福建高考卷，理12) 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三种说法：(1)若点C在线段AB上，则|AC|+|CB|=|AB|;(2)在ABC中，若C=90,则|AC|2+|CB|2=|AB|2;(3)在ABC中，|AC|+|CB|AB|.其中正确的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定各说法的真假.设C
6、(x , y),若点C在线段AB上，则=,0，得C()，则|AC|=|x1-|+|y1-|=(|x1-x2|+|y1-y2|)，|CB|=(|x1-x2|+|y1-y2|)，得|AC|+|CB|=|AB|.(1)正确.在ABC中，若C=90,取C(0,0),B(1,0),A(0,2),则|AC|=2,|BC|=1,|AB|=3,但|AC|2+|CB|2|AB|2且|AC|+|CB|=|AB|.(2)与(3)都不正确.答案：B 黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算(操作)上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识. 变式训练 (20
7、06陕西高考卷，理9) 已知非零向量与满足()=0且=,则ABC为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路解析：非零向量满足()=0，即角A的平分线垂直于BC，AB=AC.又cosA=，A=，ABC为等边三角形，选D.答案：D问题探究 问题1 任给8个非零实数a1,a2, ,a8,试探究下列六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中至少有一个是非负的. 导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时就可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间
8、的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题. 探究：在直角坐标系xOy中，构造向量、，它们的坐标分别为(a1,a2)、(a3,a4)、(a5,a6)、(a7,a8)，显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90，不妨设和的夹角不大于90，则cos,=0，a1a3+a2a40，命题为真. 问题2 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 导思：本题是一个探索性问题，解决本题的关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证+与+垂直.图2-4-3 探究：如图2-4-3所示，在正ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足、两两不共线，有(+)(+)=(+)(+)=(2+)(2+)=(2-)(2+)=42-2=0.有(+)与(+)垂直.同理可证其他情况.从而、满足题意.故存在这样的4个平面向量.