1、第八节正弦定理、余弦定理应用举例考纲传真(教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(对应学生用书第64页)基础知识填充1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图381)图3812方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图381)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为18
2、0.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC等于()A10 n mileB n mileC5 n mile D5 n mileD如图，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，BC5.3若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东
3、10 D北偏西10B如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015，点A在点B的北偏西15.4如图382，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()图382A50 mB25 mC25 mD50 mD因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m5轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_ n mile.70设两船之间的距离
4、为d，则d503025030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.(对应学生用书第65页)测量距离问题如图383，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73) 【导学号：97190136】图38360如图所示，过A作ADCB且交CB的延长线于D在RtADC中，由AD46 m，ACB30得AC92 m.在ABC中，BAC673037，ABC18067113，AC92
5、m，由正弦定理，得，即，解得BC60(m)规律方法求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题；(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素；(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题，应作答).跟踪训练如图384所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长图384解在ABC中，由余弦定理得ABACBC2ACBCcosACB，AB4006002400600cos 60280 000，AB20
6、0(m)，即A，B两点间的距离为200 m.测量高度问题如图385，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.图385100由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)易错警示解决高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.(2)在实际问题中，可能会遇到空
7、间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.跟踪训练如图386，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60，在电视塔的南偏西60的B处测得塔顶的仰角为45，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为_米图3865如图，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35米设OCx米，则OAx米，OBx米在ABO中，由余弦定理，得ABOAOB2OAOBcos AOB，即35xxcos 150，整理得x5，所以此电视塔的高度是5米测量角度问题某渔船在航行中不幸遇
8、险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解如图所示，设所需时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有ABACBC2ACBCcos 120，可得(10t)10(10t)21010tcos 120.整理得2tt10，解得t1或t(舍去)，舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30.所以舰艇航向为北偏东75.易错警示解决
9、测量角度问题的注意事项(1)应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.跟踪训练如图387，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值. 【导学号：97190137】图387解在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BCABAC2ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)sinACB sin 30.
