1、31函数与方程31.1方程的根与函数的零点 内容标准学科素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系2会求函数的零点3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第57页基础认识知识点一函数的零点如图为函数f(x)在4,4上的图象：(1)根据函数的图象，你能否得出方程f(x)0的根的个数？提示：方程f(x)0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方程有3个根，即x3，1,2.(2)你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标(3)函数
2、的零点是“点”吗？提示：函数的零点不是点，而是函数yf(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零 知识梳理1.函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点知识点二函数零点的判断函数f(x)x24x3的图象如图(1)函数的零点是什么？提示：1,3.(2)判断f(0)f(2)与f(2)f(4)的符号提示：f(0)3，f(2)1，f(4)3，f(0)f(2)0，f(2)f(4)0. 知识梳理函数零点的存在性定理如果函数yf(x
3、)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根思考：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.自我检测1函数y4x2的零点是()A2B(2,0)C. D.解析：令y4x20得x，故函数y4x2的零点是.答案：D2若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是_解析：由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(
4、x)在区间(2,5)上有且只有一个零点答案：13已知函数yf(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)0，f(2)0，f(3)0，则可以确定零点所在区间为_解析：yf(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)f(3)0，函数零点所在区间为(2,3)答案：(2,3)授课提示：对应学生用书第58页探究一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解析(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函
5、数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.方法技巧函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点跟踪探究1.若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点解析：由题意知f(3)0，即(3)23a0，a6，f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.函数f(x)其余的零点是2.探究二判断函数零点所在的区间阅读教材P88练习2题利用信
6、息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：(1)f(x)x33x5；(2) f(x)2xln(x2)3；(3) f(x)ex14x4；(4) f(x)3(x2)(x3)(x4)x.题型：判断函数零点所在区间例2函数f(x)2x1x5的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析f(2)221250，f(3)231350，故f(2)f(3)0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)2x1x5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)答案C方法技巧判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值
7、相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 跟踪探究2.根据表格中的数据，可以判定方程ex2x50的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.602x55791113A.(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：设f(x)ex2x5，此函数的图象是连续不断的，由表可知f(0)1540，f(1)2.7274.280，f(2)7.3991.610，所以f(2)f(3)0，所以函数f(x)的一个零点，即方程ex2x50的一个根所在的区间为(2,3)探究三函数零
8、点的个数阅读教材P88例1求函数f(x)ln x2x6的零点的个数题型：求零点的个数例3已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()A1 B2C3 D4解析函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.答案B延伸探究1
9、.把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数解析：由2x|logax|10得|logax|x，作出yx及y|logax|(0a1)的图象如图所示由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y2x|logax|1有两个零点2若把本例条件换成“函数f(x)|2x2|b有两个零点”，求实数b的取值范围解析：由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点B一定没有零点C可能有两个零点 D至多有一个零点思路探究：(1)数形结合借助几何直观感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，将数(量)与形(图)结合起来，把函数与方程结合起来，灵活运用给解决问题带来很大方便(2)数形结合的思想方法的核心是根据题意画出符合条件的图象，然后根据图象进行判断解析：若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图，图所示，可知A错若如图所示，可知B错、D错故C正确答案：C